ستاره های آسمان

ریاضی ابزار شناخت جهان هستی

ستاره های آسمان

ریاضی ابزار شناخت جهان هستی

ستاره های آسمان
مطالب پربحث‌تر

۶ مطلب با موضوع «مبانی ریاضی :: منطق» ثبت شده است

سلام

سوال از جناب محب:

بی زحمت در مورد عکس قضایایی که با سور بیان می شن یه کمی توضیح بدید! لطفا!

پاسخ:

در گام نخست باید چک کرد که آیا واقعا با یک قضیه سر و کار داریم یا نه؟ (قضیه گزاره ای شرطی است) باید به صورت دقیق به شکل نمادین و استاندارد نگارش کنیم. از جمله گزاره‌هایی که با قضیه اشتباه می‌شود گزاره‌های دارای سور است. به بیان دیگر گزاره ما اگر به شکل زیر باشد یک قضیه نیست:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \]

برای مثال کلیک کنید.


حال اگر گزاره ما به شکل زیر بود:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \]

برای مثال گزاره ما اینچنین بود: اگر X مجموعه‌ای بیش از 3 نقطه در فضا باشد که با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید آنگاه فضای ما اقلیدسی نیست.

P(X): با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید

Q(X): فضای ما اقلیدسی نیست

عکس این گزاره‌ها هیچ تفاوتی با گزاره‌های معمولی ندارد. یعنی اگر گزاره ما به صورت زیر باشد

\[ p \Rightarrow q \]

عکس آن به صورت

\[ q \Rightarrow p \]

ولی در نقیض آن سور عمومی به سور وجودی تبدیل می‌شود:

\[ \sim \Big( \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \Big ) \equiv \exists x \in X : P(X) \land \sim Q(X)  \]

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

میدانیم هرگاه گزاره «اگر الف آنگاه ب» غلط باشد گزاره «اگر ب آنگاه الف درست است»

دلیل: تنها زمانی «اگر الف آنگاه ب» غلط است که «الف» درست باشد و «ب» غلط. حال چون «ب» غلط است هر  نتیجه­ ای از آن می­توان گرفت از جمله «الف»!

حال سوال زیر مطرح می شود:
عکس گزاره زیر چیست؟
به ازای هر الف اگر الف مثلث متساوی الاضلاع باشد آنگاه الف مثلث قائم الزاویه است

چند نکته در رابطه با سوال فوق:
1) به سورهای موجود در گزاره فوق دقت کنید
2) دقت کنید که عکس گزاره شرطی غلط درست است
3) در عکس کردن یک گزاره شرطی دقت کنید که شرط و مشروط چیست


اگر قادر به یافتن عکس گزاره فوق نیستید مشکل کجاست؟


پاسخ در ادامه مطب

  • محمد اسماعیل حسنی

(اگر از طریق موتورهای جستجو در پی قضیه تیخونوف به این صفحه آمده‌اید، کلیک کنید. در این صفحه به یک کاربرد از قضیه تیخونوف در منطق به صورت گذرا اشاره شده است و خواندن آن خالی از لطف نیست)

-----------------------------------------------------------------------

سلام

در مبحث منطق قضیه جالب مشهور به قضیه فشردگی وجود دارد، این قضیه اقدام به ارزش­گذاری سازگار و کامل نامتناهی گزاره می­کند.

پیش از ورود به‌ این قضیه باید تأکید کنم که فُخس به معنای فرمول خوش ساخت است اگر با مفهوم فخس آشنایی ندارید می­توانید به عبارت ساده­تر مفهوم گزاره در مبانی ریاضیات با آن آشنا شده­اید بسنده کنید، ارزش­دهی ارضاء کننده یک مجموعه از فخسها نیز به طور ساده همان ارزش­دهی به گزاره­های یک مجموعه از گزاره هاست به طوری که کامل و سازگار باشد.

قضیه فشردگی: فرض کنید مجموعهشامل نامتناهی فخس باشد، اگر به ازای هر زیرمجموعه متناهی از مانندبتوانیم یک ارزشدهی ارضاء کننده ارائه کنیم یک ارزش­دهی ارضاء کننده برایوجود دارد.

نکته جالب در این قضیه این است که اگر شما مجموعهرا در نظر بگیرید، ارزش­دهی ارضاء کننده­ای که برای هر یک از مجموعه­های ،، نسبت داده می­شود می­تواند با هم چنان متفاوت باشد که شباهتی بین آن‌ها مشاهده نکنید.

اهمیت حِکمی این قضیه نیز قابل بررسی و ژرف به نظر می­رسد.

چیزی که در این بین از همه جالبتر است دلیل نامگذاری این قضیه به «فشردگی» است، این قضیه را میتوان با استفاده از قضیه فشردگی تیخونوف در فضاهای توپولوژیک حاصلضربی بیان و اثبات کرد!

  • محمد اسماعیل حسنی

دانشجو: استاد منطق چیه؟

استاد: اگه دو نفر بیان پیشت یکی تمیز و یکی کثیف ، بهشون میگی برن حموم منطقا کدومشون میره حموم؟

دانشجو: اونی که کثیفه،

استاد: نه اشتباه کردی، اونی که تمیزه! چون کثیف به کثیفی و تمیز به تمیزی عادت کرده و تمیز میره حموم

دانشجو: یعنی تمیزه زودتر میره حموم؟

استاد: نه باز اشتباه کردی! تمیز نیازی نداره بره حموم اون کثیفه که نیاز داره حموم بره

دانشجو: پس چی شد؟ اصلا هر دوشون میرن حموم!

استاد: نه! کثیفه که به کثیفی عادت داره، تمیز هم نیازی نداره پس هیچ کدوم نمیرن حموم

دانشجو: یعنی باید نتیجه بگیرم که هیچکی حموم نمیره؟

استاد: نه! ببین اشتباه کردی! کثیفه نیاز داره به حموم و تمیز هم عادت به تمیزی داره پس هر دو میرن حموم

دانشجو: یعنی چی؟ پس منطق چی شد؟؟؟

استاد: منطق همینه! تو بگو میخوایی چی رو ثابت کنی من با منطق واست ثابت کنم!

  • محمد اسماعیل حسنی
سلام
دهه نخست آبان، دهه ریاضیات نامگذاری شده که گرامی داشتهای مختلفی در نقاط مختلف جهان انجام میشود. انجمن علمی ریاضی دانشگاه صنعتی شاهرود با برگذاری نمایشگاه ریاضیات سهم خود را در این دهه ایفا میکند.
بنده هم غرفه ای با موضوع فلسفه ریاضی -دانشسرای بوعلی- ارائه داده بودم که دیدن و خواندن نظرات دوستان در موضوعات مختلف خالی از لطف نخواهد بود.

در هر مرحله از توضیحات غرفه سوالی از دانشجویان پرسیده میشد و سعی بر این بود که ذهن دانشجو به چالش کشیده شود و خود به سوالات جواب دهد یا از جواب دیگر دانشجویان -که به صورت برگه هایی در زیر هر موضوع نوشته شده بود- راهنمایی بگیرد.

موضوع :
موضوع ریاضیات
توضیحات: در هر علمی ما اقدام به ایجاد یک ساختار می کنیم. این ساختار باید در راستای اهداف آن علم باشد، ما چه زمانی می توانیم قضاوت کنیم که آیا ساختاری که ما داریم در راستای آن علم قرار دارد؟ باید نسبت به موضوع آشنایی داشته باشیم. پس سوال نخستی که در رویارویی با فلسفه ریاضی داریم این خواهد بود:
 موضوع ریاضیات چیست؟

موضوع ریاضی چیست؟

نظرات دانشجویان

  • رشته ریاضی مثل دانشجوهاش فضول­ترین رشته دنیاست.
  • ریاضیات علم توجیه کردن موجوداتی است که نمی­توان دید.
  • ریاضیات موضوعات متعددی دارد . معرف به اجزاء هست.
  • علم پایه خیلی سخته ولی بقیه علم­ها ازون سختر.
  • علم اساس
  • درون انسان همه علوم وجود دارد، ریاضیات خود انسان هست.
  • قوانین جهان
  • ریاضیات یعنی انتگرال***انتگرال یعنی ریاضی***زندگی یعنی ریاضی
  • ریاضی خشک­تر از برگهای پاییزی زرد!!!
  • حقیقت جهان، شیوه نگاه کردن به هستی
  • ریاضی : قوانین حاکم بر همین (همه) فضاها
  • ریاضی: ریشه تمام
  • قانونمندی عالم براساس علم ریاضی است.
  • ریاضیات تخیل کردن است.
  • فضا و رابطه بین اعضای آن فضا
  • فضاها یا گسسته­اند یا پیواسته!! فکر کنم گسسته­ها رو میشه شمرد ولی پیوسته­ها باید متر داشته باشند.
  • هدف از هر علم در هر رشته­ای باعث پیشرفت و تکامل بشر است. آیا با علم بدون عمل می­توان پیشرفت کرد؟ به نظر من حتی می­توان سقوط کرد.
  • ریاضیات زبانی است برای بیان ارتباط بین پدیده­ها
  • ریاضیات کفاره گناهان نکرده
  • ریاضیات مجموعه از مفاهیم انتزاع است که مفاهیم تجربی فیزیک را کمی کند.
  • یه سری آدم که دنیا آن‌ها را ترد کرده بود علم ریاضی را کشف کرده­اند.
  • حساب دودوتا چهارتاست.
  • موضوع باید ذهنی باشد

ریاضیات زبانی است برای بیان ارتباط میان پدیده ها

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

 

با توجه به اصول 1 تا 4 به سوالات زیر پاسخ دهید:

اصل1: آدم و حوا انسان هستند.

اصل2: هر چه فرزند انسان باشد، انسان است.

اصل3: هرچه در دو اصل فوق نگنجد انسان نیست.

اصل4: ولد نسبت به والد متاخر است.


پرسشها:

1: آیا شما انسان هستید؟

2: آیا کلاغ انسان است؟

3: آیا آدم و حوا فرزند داشتند؟

4: آیا سوال یک و 3 هم ارزند؟

5: آیا اصول فوق کامل هستند؟

6: آیا اصول فوق سازگارند؟

  • محمد اسماعیل حسنی