برابری مساحتهای مثلثهای ایجاد شده توسط میانه های یک مثلث

سلام

خانم شکوفه:

اثبات کنید:

 

پاسخ: مثلث AON و BON را در نظر بگیرید. چون AN=BN و از طرفی خط عمود بر ANو BN از راس O مشترک است (فرض کنیم طول این عمود h باشد، داریم AN.h/2 = BN.h/2 پس نتیجه می­گیریم که S1=S2

به همین ترتیب:S3=S4 و S5=S6

حال مثلث AMB و  AMC را در نظر بگیرید: چون MB = MC و از طرفی پای عمود بر این دو ضلع نیز مشترک هست پس نتیجه می­گیریم:

S1 + S2 + S3 = S4 + S5 + S6

اگر از طرفین مقادیر برابر را حذف کنیم داریم:

S1 + S2 = S5 + S6      =>   2S1 = 2S5         =>  S1 = S5      =>  S1 = S2 = S5 = S6  (*)l

مشابها با مقایسه مثلثهای CNA و CNB داریم:

S1 + S5 + S6 = S2 + S3 + S4   => (* و S3=S4)  =>  2S5 = 2S4   => S5=S4   => S1=S2=S3=S4=S5=S6