مفهوم پایه در مدولها

پیش از هر چیز یادآوری میکنم تعریف پایه در فضاهای برداری و مدولها مشابه هستند: «پایه یک مجموعه مولد فضا است که مستقل خطی نیز باشد».

در این مجال قصد بررسی تعمیم دو خاصیت از فضاهای برداری به مدولها را داریم، این خصوصیات عبارتند از:

1. هر مجموعه مولد فضا شامل یک پایه است

2. در یک فضای بردای هر مجموعه مستقل خطی را میتوان به یک پایه تعمیم داد

3. کاردینال پایه یک فضای برداری خوش­تعریف است

حال در مدولها بررسی را انجام میدهیم:

• را به عنوان یک- مدول بررسی می­کنیممولد هست ولی چون مستقل خطی نیست (چرا؟) لذا نمی­تواند به یک پایه تعمیم پیدا کند.

• فرض کنیدV یک فضای برداری نامتناهی البعد باشد و(حلقه همه تبدیلات خطی از V به V)، حال R را به عنوان R-مدول مورد بررسی قرار می­دهیم.

تعریف میکنیم:

 

 برای هر i بزرگتر از 1:

• مجموعه یک مجموعه مستقل خطی را تشکیل می­دهد ولی این فضا هیچ پایه نامتناهی ندارد (زیرا دارای حداقل یک پایه متناهیاست.) میتوانید به آسانی بررسی کنید کهنمیتواند تابع همانی را تولید کند و همچنین این مجموعه مستقل خطی است.
  

• R را همان R فوق در نظر بگیرید؛ مجموعه (کههمان قبلی است) پایه‌ای برای R تشکیل می­دهد ولذا بعد در مدول خوش­تعریف نیست!

با توجه به اینکه بیشتر مخاطبین این مطلب دوستانی هستند که از طریق موتورهای جست و جو وارد وبلاگ شده­اند، صفحاتی را برای این دوستان پیشنهاد میکنم تا مطالعه کنند:

مطالب پیشنهادی:

اصول موضوعه انسانیت

مطالعه یک حکیم ریاضی