گزاره چیست؟
در تعریف گزاره، فلاسفه علم با اختلافات عمیق، نکات مختلفی بیان کرده‌اند. سعی ما در بیان عقلائی‌ترین تعریف از گزاره هست که در فضای زندگی واقعی کارایی داشته باشد.
در ویکی‌پدیا می‌بینیم که گزاره تحت عبارت زیر تعریف می‌شود:
- گزاره، جمله‌ای است خبری که می‌تواند درست یا نادرست باشد، هر چند که درستی یا نادرستی آن بر ما پوشیده باشد.
در کتاب درسی آمار و احتمال یازدهم (صفحه ۳) عبارت زیر به عنوان تعریف گزاره بیان شده است:
- به جمله خبری که در حال حاضر یا آینده، دارای ارزش درست یا نادرست (راست یا دروغ) باشد گزاره می‌گوییم.
در رابطه با دو تعریف فوق باید به این نکته توجه داشت که اصول تازه کشف شده ریاضی، مثل لم زرن، یا حتی اصل توازی در هندسه نتاری جایی در این تعاریف ندارند. چرا که این اصول در فضای قبلی، قابل ارزشگذاری نبودند.
می‌دانیم هدف ما از شناخت گزاره، رسیدن به جملاتی صریح است که بتوانیم در مورد آن جملات تحلیل‌های ساختارمند ارائه کنیم. لذا می‌فهمیم که گزاره باید جمله‌ای خبری باشد. ولی آیا این کفایت می‌کند؟
سوال: جملات خبری احساسی مانند «حال من خوب است» گزاره هست؟ دقت کنید هدف نهایی ما از تعریف گزاره، استفاده از این تعریف در مباحث ریاضیاتی است نه روان‌شناسی، جملات کیفی نادقیق جایی در ریاضیات کلاسیک ندارد. به نظر می‌رسد مهم‌ترین دلیل برای حذف این طیف از جملات «ناتوانی در صحت‌سنجی» این جملات است.
سوال:
آیا جمله خبری «یک‌شنبه نارنجی است.» خبر از یک واقعیت می‌دهد؟ یا خیر؟ قطعاً عبارت تیتر از پاراگراف، نادرست است، قابل ارزشگذاری است. حال اگر کسی ادعا کند که این جمله جمله‌ای درست هست، چه برخوردی می‌کنید؟ قطعاً برای در امان ماندن از جنون مدعی، ادعای وی تائید خواهد شد!!! دقت کنید بحث بر سر نارنجی بودن یا نبودن یک‌شنبه کاملاً احمقانه و دیوانگی فرض می‌شود. علم و به‌خصوص ریاضیات محل گفتن خزعبلات نیست. پس این جمله خبری نباید گزاره محسوب شود.
در نظریه طبیعی مجموعه‌ها (ZFC)، اصل انتخاب، درست هست یا خیر؟ می‌دانیم که نمی‌توانیم در فضای نظریه طبیعی مجموعه‌ها اصل انتخاب یک عبارت تصمیم‌ناپذیر است. یعنی فرض صحت این اصل یک فضا و عدم صحت آن، فضای ریاضیاتی دیگری را رقم می‌زند. (مانند اصل توازی در هندسه نتاری). در‌واقع مطمئن هستیم سؤال فوق جواب «درست» یا «نادرست» ندارد و پاسخ صحیح این است: «هر تصمیمی بگیری، اشکالی وارد نیست.»
جمله: «اسب تک‌شاخ بالدار برای ناهار کرگدن پلو می‌خورد.» آیا درست است؟ این جمله متعلق به فضای رویاهاست، در یک داستا تخیلی کودکانه گفتن چنین چیزی کاملاً عاقلانه است -که بخشی از فضای واقعی زندگی انسان‌هاست- ولی امکان تحقیق علمی با استفاده از مبانی علم (عقل، تجربه، وحی) در مورد صحت آن وجود ندارد.
آیا جمله «هر زوج بزرگ‌تر از ۲، حاصل جمع دو عدد اول فرد است.» صحیح است؟ واضح است که پاسخ به این سوال، در توان نگارنده این متن نیست، شاید سالها و حتی قرنها بعد بتوان به این پرسش پاسخی در خور داد.
آیا جمله «قضیه اولام صحیح است.» صحیح است؟ نکته جالب در این سؤال این است که برخی معتقدند ممکن است حتی تصمیم‌ناپذیری قضیه اولام قابل اثبات نباشد! یعنی حتی نتوانیم فضاهای جداگانه ریاضیاتی بسازیم که در آن‌ها قضیه اولام درست یا نادرست باشد!!!
با توجه به مباحث فوق به نظر می‌رسد برای تعریف گزاره عبارت زیر مناسب باشد:
- گزاره جمله‌ای خبری است که پرسیدن در مورد درستی آن عملی عاقلانه باشد و برای پاسخ دادن به این پرسش امکان تلاش عاقلانه و علمی وجود داشته باشد.
ملاک عقلانیت در تعریف فوق را می‌توان در کتاب‌ها فلسفی جستجو کرد ولی به عنوان یک روش سریع، اگر احساس کردید بیان جمله‌ای خبری به عنوان یک گزاره علمی، در فضای غیرعلوم انسانی و غیرهنری منجر به کسر شان شماست، آن جمله خبری عاقلانه نیست.
