گزاره

گزاره چیست؟

در تعریف گزاره، فلاسفه علم با اختلافات عمیق، نکات مختلفی بیان کرده‌اند. سعی ما در بیان عقلائی‌ترین تعریف از گزاره هست که در فضای زندگی واقعی کارایی داشته باشد.

در ویکی‌پدیا می‌بینیم که گزاره تحت عبارت زیر تعریف می‌شود:

• گزاره، جمله‌ای است خبری که می‌تواند درست یا نادرست باشد، هر چند که درستی یا نادرستی آن بر ما پوشیده باشد.

در کتاب درسی آمار و احتمال یازدهم (صفحه ۳) عبارت زیر به عنوان تعریف گزاره بیان شده است:

• به جمله خبری که در حال حاضر یا آینده، دارای ارزش درست یا نادرست (راست یا دروغ) باشد گزاره می‌گوییم.

در رابطه با دو تعریف فوق باید به این نکته توجه داشت که اصول تازه کشف شده ریاضی، مثل لم زرن، یا حتی اصل توازی در هندسه نتاری جایی در این تعاریف ندارند. چرا که این اصول در فضای قبلی، قابل ارزشگذاری نبودند.

می‌دانیم هدف ما از شناخت گزاره، رسیدن به جملاتی صریح است که بتوانیم در مورد آن جملات تحلیل‌های ساختارمند ارائه کنیم. لذا می‌فهمیم که گزاره باید جمله‌ای خبری باشد. ولی آیا این کفایت می‌کند؟

سوال: جملات خبری احساسی مانند «حال من خوب است» گزاره هست؟ دقت کنید هدف نهایی ما از تعریف گزاره، استفاده از این تعریف در مباحث ریاضیاتی است نه روان‌شناسی، جملات کیفی نادقیق جایی در ریاضیات کلاسیک ندارد. به نظر می‌رسد مهم‌ترین دلیل برای حذف این طیف از جملات «ناتوانی در صحت‌سنجی» این جملات است.

سوال:

آیا جمله خبری «یک‌شنبه نارنجی است.» خبر از یک واقعیت می‌دهد؟ یا خیر؟ قطعاً عبارت تیتر از پاراگراف، نادرست است، قابل ارزش‌گذاری است. حال اگر کسی ادعا کند که این جمله جمله‌ای درست هست، چه برخوردی می‌کنید؟ قطعاً برای در امان ماندن از جنون مدعی، ادعای وی تائید خواهد شد!!! دقت کنید بحث بر سر نارنجی بودن یا نبودن یک‌شنبه کاملاً احمقانه و دیوانگی فرض می‌شود. علم و به‌خصوص ریاضیات محل گفتن خزعبلات نیست. پس این جمله خبری نباید گزاره محسوب شود.

در نظریه طبیعی مجموعه‌ها (ZFC)، اصل انتخاب، درست هست یا خیر؟ می‌دانیم که نمی‌توانیم در فضای نظریه طبیعی مجموعه‌ها اصل انتخاب یک عبارت تصمیم‌ناپذیر است. یعنی فرض صحت این اصل یک فضا و عدم صحت آن، فضای ریاضیاتی دیگری را رقم می‌زند. (مانند اصل توازی در هندسه نتاری). در‌واقع مطمئن هستیم سؤال فوق جواب «درست» یا «نادرست» ندارد و پاسخ صحیح این است: «هر تصمیمی بگیری، اشکالی وارد نیست.»

جمله: «اسب تک‌شاخ بالدار برای ناهار کرگدن پلو می‌خورد.» آیا درست است؟ این جمله متعلق به فضای رویاهاست، در یک داستا تخیلی کودکانه گفتن چنین چیزی کاملاً عاقلانه است -که بخشی از فضای واقعی زندگی انسان‌هاست- ولی امکان تحقیق علمی با استفاده از مبانی علم (عقل، تجربه، وحی) در مورد صحت آن وجود ندارد.

آیا جمله «هر زوج بزرگ‌تر از ۲، حاصل جمع دو عدد اول فرد است.» صحیح است؟ واضح است که پاسخ به این سوال، در توان نگارنده این متن نیست، شاید سالها و حتی قرنها بعد بتوان به این پرسش پاسخی در خور داد.

آیا جمله «قضیه اولام صحیح است.» صحیح است؟ نکته جالب در این سؤال این است که برخی معتقدند ممکن است حتی تصمیم‌ناپذیری قضیه اولام قابل اثبات نباشد! یعنی حتی نتوانیم فضاهای جداگانه ریاضیاتی بسازیم که در آن‌ها قضیه اولام درست یا نادرست باشد!!!

با توجه به مباحث فوق به نظر می‌رسد برای تعریف گزاره عبارت زیر مناسب باشد:

• گزاره جمله‌ای خبری است که پرسیدن در مورد درستی آن عملی عاقلانه باشد و برای پاسخ دادن به این پرسش امکان تلاش عاقلانه و علمی وجود داشته باشد.

ملاک عقلانیت در تعریف فوق را می‌توان در کتاب‌ها فلسفی جستجو کرد ولی به عنوان یک روش سریع، اگر احساس کردید بیان جمله‌ای خبری به عنوان یک گزاره علمی، در فضای غیرعلوم انسانی و غیرهنری منجر به کسر شان شماست، آن جمله خبری عاقلانه نیست.

قضیه تیخونوف

سلام

با توجه به آمار وبلاگ قضیه تیخونوف یکی از قضایای پربازدیدکننده است. لذا مطلبی در این مورد برای کاربران محترم مینویسم، ان شاء الله که مفید باشد.

قضیه تیخونوف:

اگر خانواده

\[ \big \{ X_i \big \}_{\in I} \]

از فضاهای توپولوژیک برای هر i در I فشرده باشد آنگاه فضای حاصلضربی حاصل از ضرب فضاهای فوق نیز فشرده است یعنی

\[ X=\oplus_{i \in I} X_i \]

فشرده است.

 

اثبات دقیق این قضیه در کتابهای آموزشی توپولوژی وجود دارد و من فقط قصد دارم ایده یک اثبات را بیان کنم.

ایده اثبات:

ایده اثبات دقیقا از ظاهر مجموعه‌های باز در فضای توپولوژی حاصلضربی نتیجه می‌شود. به طرح زیر دقت کنید:

اگر یک پوشش باز برای X موجود باشد مثل:

\[ \big \{ G_j \big \}_{j \in J} \]

یک عضو دلخواه از پوشش فوق مثل

\[ G_{j_0}  \]

تقریبا شامل همه فضاها موجود در ضرب فضاهاست. (به بیان دیگر حداکثر متناهی تا از فضاهای موجود در ضرب دکارتی به صورت کامل در مجموعه فوق موجود نیستند.)

مثلا فقط اندیسهای

\[ i_1 , ... , i_n \]

حال با توجه به اینکه برای هر i در I برای X_i فشردگی را داریم، پس میتوان با انتخاب مناسب از J حداکثر متناهی عضو از پوشش انتخاب کرد که

\[ X_{i_n} \]

را بپوشاند، چون تمام بحران ما در n اندیس (متناهی اندیس) بود پس مسئله حل می‌شود.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تمرین: نکات گنگ ایده را پیدا کنید و اثبات کنید تا برهان تکمیل شود.

 

با دانستن ایده اثبات خود خواننده می‌تواند اثبات را تکمیل و تدقیق کند و شهود خوبی نسبت به صورت قضیه بدست آورد.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

یک کاربرد از قضیه تیخونوف (در منطق)

عکس قضایایی که با سور بیان می شوند

سلام

سوال از جناب محب:

بی زحمت در مورد عکس قضایایی که با سور بیان می شن یه کمی توضیح بدید! لطفا!

پاسخ:

در گام نخست باید چک کرد که آیا واقعا با یک قضیه سر و کار داریم یا نه؟ (قضیه گزاره ای شرطی است) باید به صورت دقیق به شکل نمادین و استاندارد نگارش کنیم. از جمله گزاره‌هایی که با قضیه اشتباه می‌شود گزاره‌های دارای سور است. به بیان دیگر گزاره ما اگر به شکل زیر باشد یک قضیه نیست:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \]

برای مثال کلیک کنید.

حال اگر گزاره ما به شکل زیر بود:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \]

برای مثال گزاره ما اینچنین بود: اگر X مجموعه‌ای بیش از 3 نقطه در فضا باشد که با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید آنگاه فضای ما اقلیدسی نیست.

P(X): با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید

Q(X): فضای ما اقلیدسی نیست

عکس این گزاره‌ها هیچ تفاوتی با گزاره‌های معمولی ندارد. یعنی اگر گزاره ما به صورت زیر باشد

\[ p \Rightarrow q \]

عکس آن به صورت

\[ q \Rightarrow p \]

ولی در نقیض آن سور عمومی به سور وجودی تبدیل می‌شود:

\[ \sim \Big( \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \Big ) \equiv \exists x \in X : P(X) \land \sim Q(X)  \]

صفحات متقاطع و متنافر در فضای چهار بعدی

سلام

این مطلب از وبلاگ قبلیم منتقل شده، البته تاریخ اصلی نگارش 14 مهر 1388 بود
امروز در کلاس ریاضی 3  استاد (حسین زاده) مسئله جالبی رو مطرح کرد، صفحاتی که تنها در یک نقطه مشترک هستند! البته این صفحات تنها در فضای R⁴ قابل تصورند. فقط لطفا قبل از مطرح شدن هر بحث کمی در مورد موضوع آن فکر کنید و ببینید آیا میتوانید خودتان جوابی غیر از این چیزی که من گفته ام پیدا کنید، این کمک بسیاری در درک مطلب خواهد کرد.
به دو صفحه P₁ و P₂ که به شکل زیر تعریف شده دقت کنید:

P₁={(x,y,z,w) | (x,y,z,w)=(1,2,3,4)+t(1,0,0,0) + s(0,1,0,0) & s,t in R}

P₂={(x,y,z,w) | (x,y,z,w)=(1,2,3,4)+r(0,0,1,0) + l(0,0,0,1) & r,l in R}

بدیهی است که

P₂∩P₁={(1,2,3,4)}

حال چگونه اینچنین صفحات را متصور شویم؟ به زودی به این سوال جوابی در خور خواهیم داد.

برای اینکه سوالم را دقیقتر مطرح کنم بهتر است چند مسئله دیگر را نخست مورد مطالعه قرار بدهیم.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه موازی را توضیح بدهم.
لحظه ­ای از زمان را به عنوان مبدا در نظر بگیرید حال:
فرض کنید صفحه P در فضای R⁴ به این شکل تعریف شده باشد:
در ثانیه 2، برای یک آن، یک صفحه به موازات سقف را تصور کنید. این چیزی که شما تصور کردید یک صفحه بود. (موازی صفحه زمان در دستگاه مختصات (x,y,z,t) )
صفحه Q را نیز اینگونه تعریف میکنیم:
در ثانیه 3، برای یک آن، یک صفحه به موازات سقف از سقف را تصور کنید.
صفحات P و Q موازی هستند، زیرا بردار نرمالهای هر دوی آنها را میتوان به شکل z=1 تعریف کرد و دارای بردار نرمال برابر هستند. از طرفی برهم منطبق نیستند (یکی در لحظه t=2 و دیگری t=3 وجود داشت و کلا امکان تقاطع وجود ندارد) چیزی که باعث تمایز این دو صحفه از هم شده نقطه مشخصه آنهاست. (اگر کمی بحث سنگین بود به تعریف صفحه در فضای سه بعدی مراجعه کنید، یک صفحه را میتوانستیم با بردار نرمال و یک نقطه از آن مشخص کنیم، در اینجا اگر مبدا مختصات را منطبق بر سقف در نظر بگیریم نقاط (2و0و0و0) و (3و0و0و0) نقاط معین این دو صفحه هستند.
شما هم اکنون دو صفحه موازی در فضای 4 بعدی را متصور شده اید.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متنافر در فضای چهار بعدی:

صفحه S را به این شکل تصور کنید: در ثانیه t=3 موازی با دیوار مقابل شما، صفحه ای برای یک آن پدیدار و سپس محو میشود.
صفحات P و S موازی نیستند ولی نقطه مشترکی هم باهم ندارند. پس متنافرند!

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متقاطع در یک خط کار سختی نیست. مانند صفحات S و Q

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متقاطع در یک نقطه!

دوباره به سوال ابتدایی برگشتیم، چگونه دو صفحه را متصور شویم که تنها در یک نقطه متقاطع هستند؟ این سوال در اساس به تصویری از صفحه است که به غلط در ذهن ما نقش بسته، ما تصور می کنیم که باید بتوانیم صفحه را به شکل یک مربع یا مستطیل تصور کنیم در حالیکه صفحه اصلا چنین چیزی نیست، شاید این تصور که صفحه مجموعه ای از نامتناهی مربع کنار هم است صحیح باشد ولی این دلیل نیست که همواره صفحه را به مساحت آن بشناسیم، قصد من این است که یکی از روشهای تصور صفحه که مستقیما از فرمولهای ایجاد کننده آن به دست می آید استفاده کنم.
صفحه T: اگر یادتان باشد یکی از روشهای ساخت حرکت دادن یک خط با یک سرعت ثابت در جهتی ثابت حرکت کند (این را در فضای سه بعدی متصور شوید تا بتوانید به ادامه مطلب پی ببرید). حال یک خط L را در فضای سه بعدی در نظر بگیرید، -مثلا فصل مشترک سقف و دیوار مقابل- حال زمان را دخیل کنید، این خط در سه بعد فضا ثابت ولی در زمان حرکت میکند، چون زمان دارای سرعتی ثابت هست و جهت آن نیز همواره رو به مثبت میباشد پس شما یک صفحه ساخته اید (البته اثبات این مقوله به این آسانی نیست ولی ما بدون اثبات قبول میکنیم). البته این خط از زمان منفی بینهایت تا مثبت بینهایت در زمان حرکت میکند.
صفحهU  :در لحظه t=0 یک صفحه برای یک آن دیده میشود که با خطی که شما متصور شده اید در یک نقطه تلاقی دارد - مثلا دیوار جانبی شما-
از آنجا که T تنها در یک لحظه همزمان با U دیده شد پس تمام نقاط تقاطع حداکثر در همین لحظه خواهد بود، از طرفی دیگر اگر دقت کرده باشید، در این لحظه تنها خط L و صفحه U دیده میشدند که تنها در یک نقطه باهم تقاطع دارند! پس تمام نقاط تقاطع این دوصفحه همین نقطه می باشد.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

در پناه حق

سوالی جالب در منطق

سلام

میدانیم هرگاه گزاره «اگر الف آنگاه ب» غلط باشد گزاره «اگر ب آنگاه الف درست است»

دلیل: تنها زمانی «اگر الف آنگاه ب» غلط است که «الف» درست باشد و «ب» غلط. حال چون «ب» غلط است هر  نتیجه­ ای از آن می­توان گرفت از جمله «الف»!

حال سوال زیر مطرح می شود:
عکس گزاره زیر چیست؟
به ازای هر الف اگر الف مثلث متساوی الاضلاع باشد آنگاه الف مثلث قائم الزاویه است

چند نکته در رابطه با سوال فوق:
1) به سورهای موجود در گزاره فوق دقت کنید
2) دقت کنید که عکس گزاره شرطی غلط درست است
3) در عکس کردن یک گزاره شرطی دقت کنید که شرط و مشروط چیست

اگر قادر به یافتن عکس گزاره فوق نیستید مشکل کجاست؟


پاسخ در ادامه مطب

ارزشگذاری نامتناهی گزاره ( قضیه فشردگی)

(اگر از طریق موتورهای جستجو در پی قضیه تیخونوف به این صفحه آمده‌اید، کلیک کنید. در این صفحه به یک کاربرد از قضیه تیخونوف در منطق به صورت گذرا اشاره شده است و خواندن آن خالی از لطف نیست)

-----------------------------------------------------------------------

سلام

در مبحث منطق قضیه جالب مشهور به قضیه فشردگی وجود دارد، این قضیه اقدام به ارزش­گذاری سازگار و کامل نامتناهی گزاره می­کند.

پیش از ورود به‌ این قضیه باید تأکید کنم که فُخس به معنای فرمول خوش ساخت است اگر با مفهوم فخس آشنایی ندارید می­توانید به عبارت ساده­تر مفهوم گزاره در مبانی ریاضیات با آن آشنا شده­اید بسنده کنید، ارزش­دهی ارضاء کننده یک مجموعه از فخسها نیز به طور ساده همان ارزش­دهی به گزاره­های یک مجموعه از گزاره هاست به طوری که کامل و سازگار باشد.

قضیه فشردگی: فرض کنید مجموعهشامل نامتناهی فخس باشد، اگر به ازای هر زیرمجموعه متناهی از مانندبتوانیم یک ارزشدهی ارضاء کننده ارائه کنیم یک ارزش­دهی ارضاء کننده برایوجود دارد.

نکته جالب در این قضیه این است که اگر شما مجموعهرا در نظر بگیرید، ارزش­دهی ارضاء کننده­ای که برای هر یک از مجموعه­های ،، نسبت داده می­شود می­تواند با هم چنان متفاوت باشد که شباهتی بین آن‌ها مشاهده نکنید.

اهمیت حِکمی این قضیه نیز قابل بررسی و ژرف به نظر می­رسد.

چیزی که در این بین از همه جالبتر است دلیل نامگذاری این قضیه به «فشردگی» است، این قضیه را میتوان با استفاده از قضیه فشردگی تیخونوف در فضاهای توپولوژیک حاصلضربی بیان و اثبات کرد!

مطالعه یک حکیم ریاضی

سلام

عموما در مطالعه کتب ریاضی، به مطالب آن به چشم معماهایی پی در پی نگاه میکنیم که در انتظار حل شدن نشسته اند ولی حقیقت مطلب برای یک حکیم ریاضی غیر از این است

فردی که با دیدگاه کشف چیستی مفاهیم، کشف روابط، چیستی ساختارها و سیستمها به علم ریاضیات می نگرد باید بداند که در مطالعه ریاضیات باید با مطالب گفت و گو کرد، اصالت، مسیری که در کتاب برای رسیدن به این مکان طی شده، دلایل رسیدن به چنین جایی، امکان تجرید و تعمیم در مفاهیم، ارتباط با دیگر آموخته هایمان، جایگاه مطالب در علم ریاضی را از ریاضیات خواست و منتظر پاسخ بود.

منطق

دانشجو: استاد منطق چیه؟

استاد: اگه دو نفر بیان پیشت یکی تمیز و یکی کثیف ، بهشون میگی برن حموم منطقا کدومشون میره حموم؟

دانشجو: اونی که کثیفه،

استاد: نه اشتباه کردی، اونی که تمیزه! چون کثیف به کثیفی و تمیز به تمیزی عادت کرده و تمیز میره حموم

دانشجو: یعنی تمیزه زودتر میره حموم؟

استاد: نه باز اشتباه کردی! تمیز نیازی نداره بره حموم اون کثیفه که نیاز داره حموم بره

دانشجو: پس چی شد؟ اصلا هر دوشون میرن حموم!

استاد: نه! کثیفه که به کثیفی عادت داره، تمیز هم نیازی نداره پس هیچ کدوم نمیرن حموم

دانشجو: یعنی باید نتیجه بگیرم که هیچکی حموم نمیره؟

استاد: نه! ببین اشتباه کردی! کثیفه نیاز داره به حموم و تمیز هم عادت به تمیزی داره پس هر دو میرن حموم

دانشجو: یعنی چی؟ پس منطق چی شد؟؟؟

استاد: منطق همینه! تو بگو میخوایی چی رو ثابت کنی من با منطق واست ثابت کنم!

دانشسرای بوعلی- مجموعه

سلام

موضوع:

مجموعه، مجموعه تهی

مجموعه مفهومی است گنگ و ناشناخته، آیا بدیهی انگاشتن مجموعه صحیح است؟ مگر معرف به اجزاء نیست؟ مجموعه تهی آیا وجود دارد؟ وجود مجموعه تهی یعنی بودن نیستی! یعنی اینکه انسان قابلیت شناخت عدم را دارد! در حالیکه ما از عدم کاملا دوریم؛ از دیگر سو در اصول موضوعه پئانو برای نظریه اعداد داریم که :

0= Φ

1= { Φ }

2= { {Φ} , Φ }

...

k= k-1 U { k-1 }

یعنی یک را با استفاده از مجموعه تهی معرفی کردیم این در حالی است که تهی نمایانگر عدم هست و یک نشانگر وجود واحد! آیا می­توان وجود را با عدم تعریف کرد؟ آیا اشکالی در این نظریه مشاهده نمی­کنید؟ نظر شما در مورد مفهوم مجموعه و مجموعه تهی چیست؟

 

نظرات دوستان

• اعضای مجموعه باید از یک نوع باشند.

• تهی یعنی نیستی اما با صفر متفاوت است؛ چون صفر وجود دارد ولی ارزش ندارد ولی تهی ماهیت ندارد وجود ندارد که ارزش داشته باشد.

• بودن یا نبودن مسئله این است.

• چند چیز که یک خاصیت مشترک (روح مشترک) دارند

• قبول ندارد : 1={Φ}

• عدم وجود دارد، صفات بد

دانشسرای بوعلی- صدق ریاضی در طبیعت، مقبولیت در ریاضیات

سلام

موضوع:

مقبولیت نظریه های ریاضی

صدق ریاضی در طبیعت

بیش از چند قرن از ابداع ساختارهای جبری می گذرد ولی کاربردی شدن آن در فیزیک وشیمی به تازگی مشاهده شده است یا هندسه هذلولوی سالها پس از ابداع بود که در نظریات نسبیت وارد شد. درحالیکه در زمان ابداع به همان اندازه مجرد بود که دستگاه صوری زیر مجرد هست:

+         ↔     ++

==    ↔    ==

+)     ↔    )+

+=    ↔    +=) 

چه دلیلی وجود دارد که ریاضی­دانان دستگاه­های بی­فایده­ای مثل دستگاه فوق را طرد می­کنند و هندسه هذلولوی یا جبر گروه­ها و حلقه­ها را می­پذیرند در حالیکه به ظاهر هیچ یک ارجحیتی نسبت به دیگری ندارد؟ اگر صرف قرارداد را بپذیریم صدق ریاضی در طبیعت یک تصادف عجیب و غیرقابل باور هست ولی از سوی دیگر  نمی­توان شهود را مبنای این نظریات دانست، سوال اصلی این است دلیل مقبولیت نظریات ریاضی در کجاست؟ و چرا هر چیزی مورد بحث ریاضیدانان واقع نشده است؟

• نسبی گرایانه است

• باید متقارن باشد

• اول: تجرید از طبیعت ولی به مرور زمان قرارداد وارد شده و تعاریف به سمت مجرد شدن سیر کرده اند.

• باید زیبا باشد

• فطریست

• اصول قرارداد هستند