قضیه تیخونوف

سلام

با توجه به آمار وبلاگ قضیه تیخونوف یکی از قضایای پربازدیدکننده است. لذا مطلبی در این مورد برای کاربران محترم مینویسم، ان شاء الله که مفید باشد.

قضیه تیخونوف:

اگر خانواده

\[ \big \{ X_i \big \}_{\in I} \]

از فضاهای توپولوژیک برای هر i در I فشرده باشد آنگاه فضای حاصلضربی حاصل از ضرب فضاهای فوق نیز فشرده است یعنی

\[ X=\oplus_{i \in I} X_i \]

فشرده است.

 

اثبات دقیق این قضیه در کتابهای آموزشی توپولوژی وجود دارد و من فقط قصد دارم ایده یک اثبات را بیان کنم.

ایده اثبات:

ایده اثبات دقیقا از ظاهر مجموعه‌های باز در فضای توپولوژی حاصلضربی نتیجه می‌شود. به طرح زیر دقت کنید:

اگر یک پوشش باز برای X موجود باشد مثل:

\[ \big \{ G_j \big \}_{j \in J} \]

یک عضو دلخواه از پوشش فوق مثل

\[ G_{j_0}  \]

تقریبا شامل همه فضاها موجود در ضرب فضاهاست. (به بیان دیگر حداکثر متناهی تا از فضاهای موجود در ضرب دکارتی به صورت کامل در مجموعه فوق موجود نیستند.)

مثلا فقط اندیسهای

\[ i_1 , ... , i_n \]

حال با توجه به اینکه برای هر i در I برای X_i فشردگی را داریم، پس میتوان با انتخاب مناسب از J حداکثر متناهی عضو از پوشش انتخاب کرد که

\[ X_{i_n} \]

را بپوشاند، چون تمام بحران ما در n اندیس (متناهی اندیس) بود پس مسئله حل می‌شود.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تمرین: نکات گنگ ایده را پیدا کنید و اثبات کنید تا برهان تکمیل شود.

 

با دانستن ایده اثبات خود خواننده می‌تواند اثبات را تکمیل و تدقیق کند و شهود خوبی نسبت به صورت قضیه بدست آورد.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

یک کاربرد از قضیه تیخونوف (در منطق)

صفحات متقاطع و متنافر در فضای چهار بعدی

سلام

این مطلب از وبلاگ قبلیم منتقل شده، البته تاریخ اصلی نگارش 14 مهر 1388 بود
امروز در کلاس ریاضی 3  استاد (حسین زاده) مسئله جالبی رو مطرح کرد، صفحاتی که تنها در یک نقطه مشترک هستند! البته این صفحات تنها در فضای R⁴ قابل تصورند. فقط لطفا قبل از مطرح شدن هر بحث کمی در مورد موضوع آن فکر کنید و ببینید آیا میتوانید خودتان جوابی غیر از این چیزی که من گفته ام پیدا کنید، این کمک بسیاری در درک مطلب خواهد کرد.
به دو صفحه P₁ و P₂ که به شکل زیر تعریف شده دقت کنید:

P₁={(x,y,z,w) | (x,y,z,w)=(1,2,3,4)+t(1,0,0,0) + s(0,1,0,0) & s,t in R}

P₂={(x,y,z,w) | (x,y,z,w)=(1,2,3,4)+r(0,0,1,0) + l(0,0,0,1) & r,l in R}

بدیهی است که

P₂∩P₁={(1,2,3,4)}

حال چگونه اینچنین صفحات را متصور شویم؟ به زودی به این سوال جوابی در خور خواهیم داد.

برای اینکه سوالم را دقیقتر مطرح کنم بهتر است چند مسئله دیگر را نخست مورد مطالعه قرار بدهیم.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه موازی را توضیح بدهم.
لحظه ­ای از زمان را به عنوان مبدا در نظر بگیرید حال:
فرض کنید صفحه P در فضای R⁴ به این شکل تعریف شده باشد:
در ثانیه 2، برای یک آن، یک صفحه به موازات سقف را تصور کنید. این چیزی که شما تصور کردید یک صفحه بود. (موازی صفحه زمان در دستگاه مختصات (x,y,z,t) )
صفحه Q را نیز اینگونه تعریف میکنیم:
در ثانیه 3، برای یک آن، یک صفحه به موازات سقف از سقف را تصور کنید.
صفحات P و Q موازی هستند، زیرا بردار نرمالهای هر دوی آنها را میتوان به شکل z=1 تعریف کرد و دارای بردار نرمال برابر هستند. از طرفی برهم منطبق نیستند (یکی در لحظه t=2 و دیگری t=3 وجود داشت و کلا امکان تقاطع وجود ندارد) چیزی که باعث تمایز این دو صحفه از هم شده نقطه مشخصه آنهاست. (اگر کمی بحث سنگین بود به تعریف صفحه در فضای سه بعدی مراجعه کنید، یک صفحه را میتوانستیم با بردار نرمال و یک نقطه از آن مشخص کنیم، در اینجا اگر مبدا مختصات را منطبق بر سقف در نظر بگیریم نقاط (2و0و0و0) و (3و0و0و0) نقاط معین این دو صفحه هستند.
شما هم اکنون دو صفحه موازی در فضای 4 بعدی را متصور شده اید.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متنافر در فضای چهار بعدی:

صفحه S را به این شکل تصور کنید: در ثانیه t=3 موازی با دیوار مقابل شما، صفحه ای برای یک آن پدیدار و سپس محو میشود.
صفحات P و S موازی نیستند ولی نقطه مشترکی هم باهم ندارند. پس متنافرند!

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متقاطع در یک خط کار سختی نیست. مانند صفحات S و Q

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متقاطع در یک نقطه!

دوباره به سوال ابتدایی برگشتیم، چگونه دو صفحه را متصور شویم که تنها در یک نقطه متقاطع هستند؟ این سوال در اساس به تصویری از صفحه است که به غلط در ذهن ما نقش بسته، ما تصور می کنیم که باید بتوانیم صفحه را به شکل یک مربع یا مستطیل تصور کنیم در حالیکه صفحه اصلا چنین چیزی نیست، شاید این تصور که صفحه مجموعه ای از نامتناهی مربع کنار هم است صحیح باشد ولی این دلیل نیست که همواره صفحه را به مساحت آن بشناسیم، قصد من این است که یکی از روشهای تصور صفحه که مستقیما از فرمولهای ایجاد کننده آن به دست می آید استفاده کنم.
صفحه T: اگر یادتان باشد یکی از روشهای ساخت حرکت دادن یک خط با یک سرعت ثابت در جهتی ثابت حرکت کند (این را در فضای سه بعدی متصور شوید تا بتوانید به ادامه مطلب پی ببرید). حال یک خط L را در فضای سه بعدی در نظر بگیرید، -مثلا فصل مشترک سقف و دیوار مقابل- حال زمان را دخیل کنید، این خط در سه بعد فضا ثابت ولی در زمان حرکت میکند، چون زمان دارای سرعتی ثابت هست و جهت آن نیز همواره رو به مثبت میباشد پس شما یک صفحه ساخته اید (البته اثبات این مقوله به این آسانی نیست ولی ما بدون اثبات قبول میکنیم). البته این خط از زمان منفی بینهایت تا مثبت بینهایت در زمان حرکت میکند.
صفحهU  :در لحظه t=0 یک صفحه برای یک آن دیده میشود که با خطی که شما متصور شده اید در یک نقطه تلاقی دارد - مثلا دیوار جانبی شما-
از آنجا که T تنها در یک لحظه همزمان با U دیده شد پس تمام نقاط تقاطع حداکثر در همین لحظه خواهد بود، از طرفی دیگر اگر دقت کرده باشید، در این لحظه تنها خط L و صفحه U دیده میشدند که تنها در یک نقطه باهم تقاطع دارند! پس تمام نقاط تقاطع این دوصفحه همین نقطه می باشد.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

در پناه حق