کاربردهای مثال نقض ۱

سلام
یافتن شرایط لازم در گزاره​ی شرطی (تثبیت مقدمات)
فرض کنید گزاره
\[ p_1 \wedge ... \wedge p_n \rightarrow q \]
را ثابت کرده‌ایم ولی می‌خواهیم بدانیم آیا با حداقل شرایط به جواب رسیده‌ایم یا نه؟ به نوبت یکی از
\[p_i\]
ها را حذف و سعی می‌کنیم تا گزاره جدید را اثبات یا با یافتن مثال نقضی، رد کنیم، اگر پس از حذف یک
\[p_i\]
به مثال نقض رسیدیم
\[p_i\]
شرطی لازم برای
\[q\]
است.
مثال: وارون هر تابع حقیقی پیوسته، پیوسته است: اثبات گزاره خیلی ساده، است. مگر غیر این است که اگر تابع حقیقی مثل
\[f\]
در نقطه
\[x_0\]
ناپیوسته باشد این ناپیوستگی بر روی نمودار به صورت یک پارگی مشخص است؟ بقیه اثبات و دقیق کردن بیان آن با شما... .
حال فرضیات صورت مسأله را یک بار بررسی کنیم تا بتوانیم فرضیات صورت مسئله را کاهش دهیم: تابع
\[f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\]
است می‌توان آنرا به
\[f : (X_1,d_1) \rightarrow (X_2,d_2)\]
که دامنه و برد فضاهای متریک دلخواه است گسترش داد. حتی می‌توان
\[f : (X_1,\tau_1) \rightarrow (X_2,\tau_2)\]
باشد که دامنه و برد فضاهای توپولوژیک دلخواه‌اند. به نظر شما وارون تابع پیوسته\\
\[f : (X_1,d_1) \rightarrow (X_2,d_2)\]
هم پیوسته است؟ در آینده به این سؤال پاسخ خواهیم داد ولی شما حریص باشید و خودتان به پاسخ برسید.