ستاره های آسمان

ریاضی ابزار شناخت جهان هستی

ستاره های آسمان

ریاضی ابزار شناخت جهان هستی

ستاره های آسمان
مطالب پربحث‌تر

۱۵ مطلب با موضوع «مبانی ریاضی» ثبت شده است

سلام

با توجه به آمار وبلاگ قضیه تیخونوف یکی از قضایای پربازدیدکننده است. لذا مطلبی در این مورد برای کاربران محترم مینویسم، ان شاء الله که مفید باشد.

قضیه تیخونوف:

اگر خانواده

\[ \big \{ X_i \big \}_{\in I} \]

از فضاهای توپولوژیک برای هر i در I فشرده باشد آنگاه فضای حاصلضربی حاصل از ضرب فضاهای فوق نیز فشرده است یعنی

\[ X=\oplus_{i \in I} X_i \]

فشرده است.

 

اثبات دقیق این قضیه در کتابهای آموزشی توپولوژی وجود دارد و من فقط قصد دارم ایده یک اثبات را بیان کنم.

ایده اثبات:

ایده اثبات دقیقا از ظاهر مجموعه‌های باز در فضای توپولوژی حاصلضربی نتیجه می‌شود. به طرح زیر دقت کنید:

اگر یک پوشش باز برای X موجود باشد مثل:

\[ \big \{ G_j \big \}_{j \in J} \]

یک عضو دلخواه از پوشش فوق مثل

\[ G_{j_0}  \]

تقریبا شامل همه فضاها موجود در ضرب فضاهاست. (به بیان دیگر حداکثر متناهی تا از فضاهای موجود در ضرب دکارتی به صورت کامل در مجموعه فوق موجود نیستند.)

مثلا فقط اندیسهای

\[ i_1 , ... , i_n \]

حال با توجه به اینکه برای هر i در I برای X_i فشردگی را داریم، پس میتوان با انتخاب مناسب از J حداکثر متناهی عضو از پوشش انتخاب کرد که

\[ X_{i_n} \]

را بپوشاند، چون تمام بحران ما در n اندیس (متناهی اندیس) بود پس مسئله حل می‌شود.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تمرین: نکات گنگ ایده را پیدا کنید و اثبات کنید تا برهان تکمیل شود.

 

با دانستن ایده اثبات خود خواننده می‌تواند اثبات را تکمیل و تدقیق کند و شهود خوبی نسبت به صورت قضیه بدست آورد.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

یک کاربرد از قضیه تیخونوف (در منطق)

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

سوال از جناب محب:

بی زحمت در مورد عکس قضایایی که با سور بیان می شن یه کمی توضیح بدید! لطفا!

پاسخ:

در گام نخست باید چک کرد که آیا واقعا با یک قضیه سر و کار داریم یا نه؟ (قضیه گزاره ای شرطی است) باید به صورت دقیق به شکل نمادین و استاندارد نگارش کنیم. از جمله گزاره‌هایی که با قضیه اشتباه می‌شود گزاره‌های دارای سور است. به بیان دیگر گزاره ما اگر به شکل زیر باشد یک قضیه نیست:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \]

برای مثال کلیک کنید.


حال اگر گزاره ما به شکل زیر بود:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \]

برای مثال گزاره ما اینچنین بود: اگر X مجموعه‌ای بیش از 3 نقطه در فضا باشد که با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید آنگاه فضای ما اقلیدسی نیست.

P(X): با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید

Q(X): فضای ما اقلیدسی نیست

عکس این گزاره‌ها هیچ تفاوتی با گزاره‌های معمولی ندارد. یعنی اگر گزاره ما به صورت زیر باشد

\[ p \Rightarrow q \]

عکس آن به صورت

\[ q \Rightarrow p \]

ولی در نقیض آن سور عمومی به سور وجودی تبدیل می‌شود:

\[ \sim \Big( \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \Big ) \equiv \exists x \in X : P(X) \land \sim Q(X)  \]

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

این مطلب از وبلاگ قبلیم منتقل شده، البته تاریخ اصلی نگارش 14 مهر 1388 بود
امروز در کلاس ریاضی 3  استاد (حسین زاده) مسئله جالبی رو مطرح کرد، صفحاتی که تنها در یک نقطه مشترک هستند! البته این صفحات تنها در فضای R4 قابل تصورند. فقط لطفا قبل از مطرح شدن هر بحث کمی در مورد موضوع آن فکر کنید و ببینید آیا میتوانید خودتان جوابی غیر از این چیزی که من گفته ام پیدا کنید، این کمک بسیاری در درک مطلب خواهد کرد.
به دو صفحه P1 و P2 که به شکل زیر تعریف شده دقت کنید:

P1={(x,y,z,w) | (x,y,z,w)=(1,2,3,4)+t(1,0,0,0) + s(0,1,0,0) & s,t in R}
P2={(x,y,z,w) | (x,y,z,w)=(1,2,3,4)+r(0,0,1,0) + l(0,0,0,1) & r,l in R}
بدیهی است که
P2∩P1={(1,2,3,4)}
حال چگونه اینچنین صفحات را متصور شویم؟ به زودی به این سوال جوابی در خور خواهیم داد.
برای اینکه سوالم را دقیقتر مطرح کنم بهتر است چند مسئله دیگر را نخست مورد مطالعه قرار بدهیم.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه موازی را توضیح بدهم.
لحظه ­ای از زمان را به عنوان مبدا در نظر بگیرید حال:
فرض کنید صفحه P در فضای R4 به این شکل تعریف شده باشد:
در ثانیه 2، برای یک آن، یک صفحه به موازات سقف را تصور کنید. این چیزی که شما تصور کردید یک صفحه بود. (موازی صفحه زمان در دستگاه مختصات (x,y,z,t) )
صفحه Q را نیز اینگونه تعریف میکنیم:
در ثانیه 3، برای یک آن، یک صفحه به موازات سقف از سقف را تصور کنید.
صفحات P و Q موازی هستند، زیرا بردار نرمالهای هر دوی آنها را میتوان به شکل z=1 تعریف کرد و دارای بردار نرمال برابر هستند. از طرفی برهم منطبق نیستند (یکی در لحظه t=2 و دیگری t=3 وجود داشت و کلا امکان تقاطع وجود ندارد) چیزی که باعث تمایز این دو صحفه از هم شده نقطه مشخصه آنهاست. (اگر کمی بحث سنگین بود به تعریف صفحه در فضای سه بعدی مراجعه کنید، یک صفحه را میتوانستیم با بردار نرمال و یک نقطه از آن مشخص کنیم، در اینجا اگر مبدا مختصات را منطبق بر سقف در نظر بگیریم نقاط (2و0و0و0) و (3و0و0و0) نقاط معین این دو صفحه هستند.
شما هم اکنون دو صفحه موازی در فضای 4 بعدی را متصور شده اید.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متنافر در فضای چهار بعدی:

صفحه S را به این شکل تصور کنید: در ثانیه t=3 موازی با دیوار مقابل شما، صفحه ای برای یک آن پدیدار و سپس محو میشود.
صفحات P و S موازی نیستند ولی نقطه مشترکی هم باهم ندارند. پس متنافرند!

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متقاطع در یک خط کار سختی نیست. مانند صفحات S و Q

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متقاطع در یک نقطه!

دوباره به سوال ابتدایی برگشتیم، چگونه دو صفحه را متصور شویم که تنها در یک نقطه متقاطع هستند؟ این سوال در اساس به تصویری از صفحه است که به غلط در ذهن ما نقش بسته، ما تصور می کنیم که باید بتوانیم صفحه را به شکل یک مربع یا مستطیل تصور کنیم در حالیکه صفحه اصلا چنین چیزی نیست، شاید این تصور که صفحه مجموعه ای از نامتناهی مربع کنار هم است صحیح باشد ولی این دلیل نیست که همواره صفحه را به مساحت آن بشناسیم، قصد من این است که یکی از روشهای تصور صفحه که مستقیما از فرمولهای ایجاد کننده آن به دست می آید استفاده کنم.
صفحه T: اگر یادتان باشد یکی از روشهای ساخت حرکت دادن یک خط با یک سرعت ثابت در جهتی ثابت حرکت کند (این را در فضای سه بعدی متصور شوید تا بتوانید به ادامه مطلب پی ببرید). حال یک خط L را در فضای سه بعدی در نظر بگیرید، -مثلا فصل مشترک سقف و دیوار مقابل- حال زمان را دخیل کنید، این خط در سه بعد فضا ثابت ولی در زمان حرکت میکند، چون زمان دارای سرعتی ثابت هست و جهت آن نیز همواره رو به مثبت میباشد پس شما یک صفحه ساخته اید (البته اثبات این مقوله به این آسانی نیست ولی ما بدون اثبات قبول میکنیم). البته این خط از زمان منفی بینهایت تا مثبت بینهایت در زمان حرکت میکند.
صفحهU  :در لحظه t=0 یک صفحه برای یک آن دیده میشود که با خطی که شما متصور شده اید در یک نقطه تلاقی دارد - مثلا دیوار جانبی شما-
از آنجا که T تنها در یک لحظه همزمان با U دیده شد پس تمام نقاط تقاطع حداکثر در همین لحظه خواهد بود، از طرفی دیگر اگر دقت کرده باشید، در این لحظه تنها خط L و صفحه U دیده میشدند که تنها در یک نقطه باهم تقاطع دارند! پس تمام نقاط تقاطع این دوصفحه همین نقطه می باشد.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

در پناه حق
  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

میدانیم هرگاه گزاره «اگر الف آنگاه ب» غلط باشد گزاره «اگر ب آنگاه الف درست است»

دلیل: تنها زمانی «اگر الف آنگاه ب» غلط است که «الف» درست باشد و «ب» غلط. حال چون «ب» غلط است هر  نتیجه­ ای از آن می­توان گرفت از جمله «الف»!

حال سوال زیر مطرح می شود:
عکس گزاره زیر چیست؟
به ازای هر الف اگر الف مثلث متساوی الاضلاع باشد آنگاه الف مثلث قائم الزاویه است

چند نکته در رابطه با سوال فوق:
1) به سورهای موجود در گزاره فوق دقت کنید
2) دقت کنید که عکس گزاره شرطی غلط درست است
3) در عکس کردن یک گزاره شرطی دقت کنید که شرط و مشروط چیست


اگر قادر به یافتن عکس گزاره فوق نیستید مشکل کجاست؟


پاسخ در ادامه مطب

  • محمد اسماعیل حسنی

(اگر از طریق موتورهای جستجو در پی قضیه تیخونوف به این صفحه آمده‌اید، کلیک کنید. در این صفحه به یک کاربرد از قضیه تیخونوف در منطق به صورت گذرا اشاره شده است و خواندن آن خالی از لطف نیست)

-----------------------------------------------------------------------

سلام

در مبحث منطق قضیه جالب مشهور به قضیه فشردگی وجود دارد، این قضیه اقدام به ارزش­گذاری سازگار و کامل نامتناهی گزاره می­کند.

پیش از ورود به‌ این قضیه باید تأکید کنم که فُخس به معنای فرمول خوش ساخت است اگر با مفهوم فخس آشنایی ندارید می­توانید به عبارت ساده­تر مفهوم گزاره در مبانی ریاضیات با آن آشنا شده­اید بسنده کنید، ارزش­دهی ارضاء کننده یک مجموعه از فخسها نیز به طور ساده همان ارزش­دهی به گزاره­های یک مجموعه از گزاره هاست به طوری که کامل و سازگار باشد.

قضیه فشردگی: فرض کنید مجموعهشامل نامتناهی فخس باشد، اگر به ازای هر زیرمجموعه متناهی از مانندبتوانیم یک ارزشدهی ارضاء کننده ارائه کنیم یک ارزش­دهی ارضاء کننده برایوجود دارد.

نکته جالب در این قضیه این است که اگر شما مجموعهرا در نظر بگیرید، ارزش­دهی ارضاء کننده­ای که برای هر یک از مجموعه­های ،، نسبت داده می­شود می­تواند با هم چنان متفاوت باشد که شباهتی بین آن‌ها مشاهده نکنید.

اهمیت حِکمی این قضیه نیز قابل بررسی و ژرف به نظر می­رسد.

چیزی که در این بین از همه جالبتر است دلیل نامگذاری این قضیه به «فشردگی» است، این قضیه را میتوان با استفاده از قضیه فشردگی تیخونوف در فضاهای توپولوژیک حاصلضربی بیان و اثبات کرد!

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

عموما در مطالعه کتب ریاضی، به مطالب آن به چشم معماهایی پی در پی نگاه میکنیم که در انتظار حل شدن نشسته اند ولی حقیقت مطلب برای یک حکیم ریاضی غیر از این است

فردی که با دیدگاه کشف چیستی مفاهیم، کشف روابط، چیستی ساختارها و سیستمها به علم ریاضیات می نگرد باید بداند که در مطالعه ریاضیات باید با مطالب گفت و گو کرد، اصالت، مسیری که در کتاب برای رسیدن به این مکان طی شده، دلایل رسیدن به چنین جایی، امکان تجرید و تعمیم در مفاهیم، ارتباط با دیگر آموخته هایمان، جایگاه مطالب در علم ریاضی را از ریاضیات خواست و منتظر پاسخ بود.


  • محمد اسماعیل حسنی

دانشجو: استاد منطق چیه؟

استاد: اگه دو نفر بیان پیشت یکی تمیز و یکی کثیف ، بهشون میگی برن حموم منطقا کدومشون میره حموم؟

دانشجو: اونی که کثیفه،

استاد: نه اشتباه کردی، اونی که تمیزه! چون کثیف به کثیفی و تمیز به تمیزی عادت کرده و تمیز میره حموم

دانشجو: یعنی تمیزه زودتر میره حموم؟

استاد: نه باز اشتباه کردی! تمیز نیازی نداره بره حموم اون کثیفه که نیاز داره حموم بره

دانشجو: پس چی شد؟ اصلا هر دوشون میرن حموم!

استاد: نه! کثیفه که به کثیفی عادت داره، تمیز هم نیازی نداره پس هیچ کدوم نمیرن حموم

دانشجو: یعنی باید نتیجه بگیرم که هیچکی حموم نمیره؟

استاد: نه! ببین اشتباه کردی! کثیفه نیاز داره به حموم و تمیز هم عادت به تمیزی داره پس هر دو میرن حموم

دانشجو: یعنی چی؟ پس منطق چی شد؟؟؟

استاد: منطق همینه! تو بگو میخوایی چی رو ثابت کنی من با منطق واست ثابت کنم!

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

موضوع:

مجموعه، مجموعه تهی

مجموعه مفهومی است گنگ و ناشناخته، آیا بدیهی انگاشتن مجموعه صحیح است؟ مگر معرف به اجزاء نیست؟ مجموعه تهی آیا وجود دارد؟ وجود مجموعه تهی یعنی بودن نیستی! یعنی اینکه انسان قابلیت شناخت عدم را دارد! در حالیکه ما از عدم کاملا دوریم؛ از دیگر سو در اصول موضوعه پئانو برای نظریه اعداد داریم که :

0= Φ

1= { Φ }

2= { {Φ} , Φ }

...

k= k-1 U { k-1 }

یعنی یک را با استفاده از مجموعه تهی معرفی کردیم این در حالی است که تهی نمایانگر عدم هست و یک نشانگر وجود واحد! آیا می­توان وجود را با عدم تعریف کرد؟ آیا اشکالی در این نظریه مشاهده نمی­کنید؟ نظر شما در مورد مفهوم مجموعه و مجموعه تهی چیست؟

 

نظرات دوستان

  • اعضای مجموعه باید از یک نوع باشند.
  • تهی یعنی نیستی اما با صفر متفاوت است؛ چون صفر وجود دارد ولی ارزش ندارد ولی تهی ماهیت ندارد وجود ندارد که ارزش داشته باشد.
  • بودن یا نبودن مسئله این است.
  • چند چیز که یک خاصیت مشترک (روح مشترک) دارند
  • قبول ندارد : 1={Φ}
  • عدم وجود دارد، صفات بد
  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

موضوع:

مقبولیت نظریه های ریاضی

صدق ریاضی در طبیعت

بیش از چند قرن از ابداع ساختارهای جبری می گذرد ولی کاربردی شدن آن در فیزیک وشیمی به تازگی مشاهده شده است یا هندسه هذلولوی سالها پس از ابداع بود که در نظریات نسبیت وارد شد. درحالیکه در زمان ابداع به همان اندازه مجرد بود که دستگاه صوری زیر مجرد هست:

+         ↔     ++

==    ↔    ==

+)     ↔    )+

+=    ↔    +=) 

چه دلیلی وجود دارد که ریاضی­دانان دستگاه­های بی­فایده­ای مثل دستگاه فوق را طرد می­کنند و هندسه هذلولوی یا جبر گروه­ها و حلقه­ها را می­پذیرند در حالیکه به ظاهر هیچ یک ارجحیتی نسبت به دیگری ندارد؟ اگر صرف قرارداد را بپذیریم صدق ریاضی در طبیعت یک تصادف عجیب و غیرقابل باور هست ولی از سوی دیگر  نمی­توان شهود را مبنای این نظریات دانست، سوال اصلی این است دلیل مقبولیت نظریات ریاضی در کجاست؟ و چرا هر چیزی مورد بحث ریاضیدانان واقع نشده است؟

صدق در طبیعت

  • نسبی گرایانه است
  • باید متقارن باشد
  • اول: تجرید از طبیعت ولی به مرور زمان قرارداد وارد شده و تعاریف به سمت مجرد شدن سیر کرده اند.
  • باید زیبا باشد
  • فطریست
  • اصول قرارداد هستند
  • محمد اسماعیل حسنی
سلام
دهه نخست آبان، دهه ریاضیات نامگذاری شده که گرامی داشتهای مختلفی در نقاط مختلف جهان انجام میشود. انجمن علمی ریاضی دانشگاه صنعتی شاهرود با برگذاری نمایشگاه ریاضیات سهم خود را در این دهه ایفا میکند.
بنده هم غرفه ای با موضوع فلسفه ریاضی -دانشسرای بوعلی- ارائه داده بودم که دیدن و خواندن نظرات دوستان در موضوعات مختلف خالی از لطف نخواهد بود.

در هر مرحله از توضیحات غرفه سوالی از دانشجویان پرسیده میشد و سعی بر این بود که ذهن دانشجو به چالش کشیده شود و خود به سوالات جواب دهد یا از جواب دیگر دانشجویان -که به صورت برگه هایی در زیر هر موضوع نوشته شده بود- راهنمایی بگیرد.

موضوع :
موضوع ریاضیات
توضیحات: در هر علمی ما اقدام به ایجاد یک ساختار می کنیم. این ساختار باید در راستای اهداف آن علم باشد، ما چه زمانی می توانیم قضاوت کنیم که آیا ساختاری که ما داریم در راستای آن علم قرار دارد؟ باید نسبت به موضوع آشنایی داشته باشیم. پس سوال نخستی که در رویارویی با فلسفه ریاضی داریم این خواهد بود:
 موضوع ریاضیات چیست؟

موضوع ریاضی چیست؟

نظرات دانشجویان

  • رشته ریاضی مثل دانشجوهاش فضول­ترین رشته دنیاست.
  • ریاضیات علم توجیه کردن موجوداتی است که نمی­توان دید.
  • ریاضیات موضوعات متعددی دارد . معرف به اجزاء هست.
  • علم پایه خیلی سخته ولی بقیه علم­ها ازون سختر.
  • علم اساس
  • درون انسان همه علوم وجود دارد، ریاضیات خود انسان هست.
  • قوانین جهان
  • ریاضیات یعنی انتگرال***انتگرال یعنی ریاضی***زندگی یعنی ریاضی
  • ریاضی خشک­تر از برگهای پاییزی زرد!!!
  • حقیقت جهان، شیوه نگاه کردن به هستی
  • ریاضی : قوانین حاکم بر همین (همه) فضاها
  • ریاضی: ریشه تمام
  • قانونمندی عالم براساس علم ریاضی است.
  • ریاضیات تخیل کردن است.
  • فضا و رابطه بین اعضای آن فضا
  • فضاها یا گسسته­اند یا پیواسته!! فکر کنم گسسته­ها رو میشه شمرد ولی پیوسته­ها باید متر داشته باشند.
  • هدف از هر علم در هر رشته­ای باعث پیشرفت و تکامل بشر است. آیا با علم بدون عمل می­توان پیشرفت کرد؟ به نظر من حتی می­توان سقوط کرد.
  • ریاضیات زبانی است برای بیان ارتباط بین پدیده­ها
  • ریاضیات کفاره گناهان نکرده
  • ریاضیات مجموعه از مفاهیم انتزاع است که مفاهیم تجربی فیزیک را کمی کند.
  • یه سری آدم که دنیا آن‌ها را ترد کرده بود علم ریاضی را کشف کرده­اند.
  • حساب دودوتا چهارتاست.
  • موضوع باید ذهنی باشد

ریاضیات زبانی است برای بیان ارتباط میان پدیده ها

  • محمد اسماعیل حسنی