ستاره های آسمان

ریاضی ابزار شناخت جهان هستی

ستاره های آسمان

ریاضی ابزار شناخت جهان هستی

ستاره های آسمان
مطالب پربحث‌تر

گزاره چیست؟

در تعریف گزاره، فلاسفه علم با اختلافات عمیق، نکات مختلفی بیان کرده‌اند. سعی ما در بیان عقلائی‌ترین تعریف از گزاره هست که در فضای زندگی واقعی کارایی داشته باشد.

در ویکی‌پدیا می‌بینیم که گزاره تحت عبارت زیر تعریف می‌شود:

  • گزاره، جمله‌ای است خبری که می‌تواند درست یا نادرست باشد، هر چند که درستی یا نادرستی آن بر ما پوشیده باشد.

در کتاب درسی آمار و احتمال یازدهم (صفحه ۳) عبارت زیر به عنوان تعریف گزاره بیان شده است:

  • به جمله خبری که در حال حاضر یا آینده، دارای ارزش درست یا نادرست (راست یا دروغ) باشد گزاره می‌گوییم.

در رابطه با دو تعریف فوق باید به این نکته توجه داشت که اصول تازه کشف شده ریاضی، مثل لم زرن، یا حتی اصل توازی در هندسه نتاری جایی در این تعاریف ندارند. چرا که این اصول در فضای قبلی، قابل ارزشگذاری نبودند.

می‌دانیم هدف ما از شناخت گزاره، رسیدن به جملاتی صریح است که بتوانیم در مورد آن جملات تحلیل‌های ساختارمند ارائه کنیم. لذا می‌فهمیم که گزاره باید جمله‌ای خبری باشد. ولی آیا این کفایت می‌کند؟

سوال: جملات خبری احساسی مانند «حال من خوب است» گزاره هست؟ دقت کنید هدف نهایی ما از تعریف گزاره، استفاده از این تعریف در مباحث ریاضیاتی است نه روان‌شناسی، جملات کیفی نادقیق جایی در ریاضیات کلاسیک ندارد. به نظر می‌رسد مهم‌ترین دلیل برای حذف این طیف از جملات «ناتوانی در صحت‌سنجی» این جملات است.

سوال:

آیا جمله خبری «یک‌شنبه نارنجی است.» خبر از یک واقعیت می‌دهد؟ یا خیر؟ قطعاً عبارت تیتر از پاراگراف، نادرست است، قابل ارزش‌گذاری است. حال اگر کسی ادعا کند که این جمله جمله‌ای درست هست، چه برخوردی می‌کنید؟ قطعاً برای در امان ماندن از جنون مدعی، ادعای وی تائید خواهد شد!!! دقت کنید بحث بر سر نارنجی بودن یا نبودن یک‌شنبه کاملاً احمقانه و دیوانگی فرض می‌شود. علم و به‌خصوص ریاضیات محل گفتن خزعبلات نیست. پس این جمله خبری نباید گزاره محسوب شود.

در نظریه طبیعی مجموعه‌ها (ZFC)، اصل انتخاب، درست هست یا خیر؟ می‌دانیم که نمی‌توانیم در فضای نظریه طبیعی مجموعه‌ها اصل انتخاب یک عبارت تصمیم‌ناپذیر است. یعنی فرض صحت این اصل یک فضا و عدم صحت آن، فضای ریاضیاتی دیگری را رقم می‌زند. (مانند اصل توازی در هندسه نتاری). در‌واقع مطمئن هستیم سؤال فوق جواب «درست» یا «نادرست» ندارد و پاسخ صحیح این است: «هر تصمیمی بگیری، اشکالی وارد نیست.»

جمله: «اسب تک‌شاخ بالدار برای ناهار کرگدن پلو می‌خورد.» آیا درست است؟ این جمله متعلق به فضای رویاهاست، در یک داستا تخیلی کودکانه گفتن چنین چیزی کاملاً عاقلانه است -که بخشی از فضای واقعی زندگی انسان‌هاست- ولی امکان تحقیق علمی با استفاده از مبانی علم (عقل، تجربه، وحی) در مورد صحت آن وجود ندارد.

آیا جمله «هر زوج بزرگ‌تر از ۲، حاصل جمع دو عدد اول فرد است.» صحیح است؟ واضح است که پاسخ به این سوال، در توان نگارنده این متن نیست، شاید سالها و حتی قرنها بعد بتوان به این پرسش پاسخی در خور داد.

آیا جمله «قضیه اولام صحیح است.» صحیح است؟ نکته جالب در این سؤال این است که برخی معتقدند ممکن است حتی تصمیم‌ناپذیری قضیه اولام قابل اثبات نباشد! یعنی حتی نتوانیم فضاهای جداگانه ریاضیاتی بسازیم که در آن‌ها قضیه اولام درست یا نادرست باشد!!!

با توجه به مباحث فوق به نظر می‌رسد برای تعریف گزاره عبارت زیر مناسب باشد:

  • گزاره جمله‌ای خبری است که پرسیدن در مورد درستی آن عملی عاقلانه باشد و برای پاسخ دادن به این پرسش امکان تلاش عاقلانه و علمی وجود داشته باشد.

ملاک عقلانیت در تعریف فوق را می‌توان در کتاب‌ها فلسفی جستجو کرد ولی به عنوان یک روش سریع، اگر احساس کردید بیان جمله‌ای خبری به عنوان یک گزاره علمی، در فضای غیرعلوم انسانی و غیرهنری منجر به کسر شان شماست، آن جمله خبری عاقلانه نیست.

  • محمد اسماعیل حسنی

با سلام

بسته‌ای تحت پایتون برای شبیه‌سازی رایانش کوانتومی تهیه کردم که امیدوارم به کار دوستان بیاد. سعی کردم در تهیه این ابزار تا حدامکان از پیچیدگی‌های فیزیک دوری کنم و خروجیش چیزی باشه که یه دانشجوی ریاضی از کوانتوم نیاز داره.

https://github.com/pymuh/quantum

انتقاد یا پیشنهادی داشتین حتما در خدمتیم.

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

برای دریافت جلسه چهارم مبانی رمزنگاری روی لینک زیر کلیک کنید.

دریافت جلسه ۴م

  • محمد اسماعیل حسنی

با سلام

منبع بسیار مناسب برای شروع مطالعه در زمینه تبدیلات فوریه:

کلیک کنید

  • محمد اسماعیل حسنی

جلسه سوم مبانی رمزنگاری کاربردی:
مباحث:
تحلیل نگاه مهاجم
مفهوم امنیت و امنیت کامل
تحلیل رمزنگاری جایگشتی
رمزنگاری جابجایی و تحلیل آن
افزونگی، تاثیر عوامل غیرریاضی در حملات موفق به سیستم رمزنگاری
مدت زمان: ۴۳ دقیقه
(لینک اصلاح شد)

لینک دریافت: yon.ir/crypto4

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

جلسه دوم مبانی رمزنگاری را از لینک زیر دریافت کنید:

پارت۱

پارت۲

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

با خودم قرار گذاشتم هم برای اینکه وبلاگ از این حالت راکد خارج بشه و هم کار مفیدی کرده باشم دوره‌های آموزش رمزنگاری رو ضبط کنم و اینجا بذارم.

لینک دریافت جلسه اول رمزنگاری

۲ جلسه اول رایگان خواهد بود و بقیه جلسات هزینه خواهد داشت.

برای دریافت جلسات هزینه‌دار، باید با تلگرامتون به ID تلگرام @mshjk پیام بدین تا لینک دانلود براتون ارسال بشه.

(دقت کنید چون لینک در secret chat ارسال میشه، باید از نسخه گوشی تلگرام استفاده کنید نه از لپتاپ)

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

اسلایدهای کارسوق آشنایی با المپیاد را از این لینک دریافت کنید.

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

نظریه اطلاعات کوانتومی بر پایه چند اصل استوار است که در این نوشته به طور خلاصه به این مفاهیم می‌پردازیم. شاید به لحاظ فیزیک نوشته‌های این صفحه دقیق نباشد ولی برای ریاضی‌خوانهای عزیز می‌تواند استارت کار باشد.

 

1.            کیوبیت تک ذره‌ای، نقطه‌ای روی دایره واحد در صفحه‌

\[ \mathbb{C} ^2 \]

یا به عبارت دیگر برداری یکه در صفحه فوق است. مولد‌های این صفحه را با

\[|0>=(1,0) , |1>=(1,0) \]

نشان می‌دهیم یک پایه معمول دیگر برای این فضای برداری

\[|+>=(1,1) , |->=(-1,1) \]

است.

. دقت کنید این صفحه یک فضای برداری روی میدان اعداد مختلط است. برخلاف بیت کلاسیک، کیوبیت کوانتومی ناشمار حالت متفاوت می‌تواند داشته باشد.

  1. کیوبیت n ذره‌ای برداری یکه در فضای حاصلضرب تانسوری n صفحه مختلط است.
  2. مقدار یک کیوبیت را نمی‌توان به طور دقیق تعیین کرد. برای تعیین مقدار یک کیوبیت از الگوریتم زیر استفاده می‌کنیم:

                     i.            قطبش کیوبیت n ذره‌ای در یک فضای برداری

\[ 2^n \]

قطبش دارد. پایه‌های این فضای برداری حاصلضرب تانسوری پایه‌های n صفحه مختلط دو بعدی است.

                   ii.            برای مشاهده‌گر (معادل با چشمی در رایانه‌های کلاسیک) یک پایه فضای برداری تعیین می‌شود. خروجی مشاهده‌گر یکی از اعضای پایه خواهد بود. پایه تثبیت شده را

\[ \left\lbrace \beta^{2^n}_0, \beta^{2^n}_1 ,\ldots , \beta^{2^n}_{2^n} \right\rbrace \]

                  iii.            سیستمی که در وضعیت

\[ \phi= \sum \lambda_i \beta^{2^n}_i \]

باشد را مقابل مشاهده‌گر قرار می‌دهیم مشاهده‌گر با احتمال

\[ \parallel \lambda_i \parallel \]

مقدار

\[ \beta_i \]

را اعلام می کند.

دقت کنید در الگوریتم فوق، پایه فضای هیلبرت را برای مشاهده‌گر از پیش معرفی کرده‌ایم.

  1. حالت سیستم بعد از مشاهده به حالت

\[ \phi^{'}= \beta_i \]

فرو می‌ریزد.

  1. می‌توان m ذره یک سیستم n ذره‌ای با حالت اولیه

\[ \phi= \sum \lambda_i \beta^{2^n}_i \]

را مقابل چشم مشاهده‌گر قرار داد. در این وضعیت جالت سیستم m ذره‌ای را یکه شده بردار زیر می‌گیریم:

\[ \phi^m= \sum \left( \sum\limits_{\beta^{2^m}_j ~is ~prefix~ \beta^{2^n}_i } \lambda_i \right) \beta^{2^m}_j \]

خروجی مشاهده گر را با Output می‌نامیم.

 

  1. حالت n-m ذره باقیمانده نیز به یکه شده بردار زیر فرو ریزی می‌کند:

\[ \phi^{n-m}= \sum \mu_i \beta^{2^m}_i \]

که

\[ \mu_i = \left\lbrace \begin{array}{cc} 0& Output~not~prefix~\beta^{2^n}_i\\ \lambda& Output~prefix~\beta^{2^n}_i\\ \end{array} \right. \]

  1. عمل مشاهده برگشت‌پذیر نیست.
  2. روی بردار وضعیت هر n کیبویت می‌توان هر عملگر ماتریسی اعمال کرد.  به عملگرهای ساده و پرکاردبرد گیت نیز می‌گویند که در ادامه در مورد آنها بیشتر مطالعه می‌کنیم.
  3. \[ |\alpha> = (<\alpha|)^t \]

 

گیت‌های پرکاربر:

\[ X=|0><1|+|1><0| \]

\[ Y=i|0><1|-i|1><0| \]

\[ Z=|0><0|-|1><1| \]

\[ H=|0><+|+|1><-| \]

ان شاء الله در آینده مطالب بیشتری در زمینه نظریه اطلاعات کوانتومی خواهم نوشت

  • محمد اسماعیل حسنی

سلام

چند تمرین برای شروع الگوریتم و فلوچارت نویسی

دانلود

  • محمد اسماعیل حسنی