عکس قضایایی که با سور بیان می شوند

سلام

سوال از جناب محب:

بی زحمت در مورد عکس قضایایی که با سور بیان می شن یه کمی توضیح بدید! لطفا!

پاسخ:

در گام نخست باید چک کرد که آیا واقعا با یک قضیه سر و کار داریم یا نه؟ (قضیه گزاره ای شرطی است) باید به صورت دقیق به شکل نمادین و استاندارد نگارش کنیم. از جمله گزاره‌هایی که با قضیه اشتباه می‌شود گزاره‌های دارای سور است. به بیان دیگر گزاره ما اگر به شکل زیر باشد یک قضیه نیست:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \]

برای مثال کلیک کنید.

حال اگر گزاره ما به شکل زیر بود:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \]

برای مثال گزاره ما اینچنین بود: اگر X مجموعه‌ای بیش از 3 نقطه در فضا باشد که با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید آنگاه فضای ما اقلیدسی نیست.

P(X): با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید

Q(X): فضای ما اقلیدسی نیست

عکس این گزاره‌ها هیچ تفاوتی با گزاره‌های معمولی ندارد. یعنی اگر گزاره ما به صورت زیر باشد

\[ p \Rightarrow q \]

عکس آن به صورت

\[ q \Rightarrow p \]

ولی در نقیض آن سور عمومی به سور وجودی تبدیل می‌شود:

\[ \sim \Big( \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \Big ) \equiv \exists x \in X : P(X) \land \sim Q(X)  \]