قضیه تیخونوف

سلام

با توجه به آمار وبلاگ قضیه تیخونوف یکی از قضایای پربازدیدکننده است. لذا مطلبی در این مورد برای کاربران محترم مینویسم، ان شاء الله که مفید باشد.

قضیه تیخونوف:

اگر خانواده

\[ \big \{ X_i \big \}_{\in I} \]

از فضاهای توپولوژیک برای هر i در I فشرده باشد آنگاه فضای حاصلضربی حاصل از ضرب فضاهای فوق نیز فشرده است یعنی

\[ X=\oplus_{i \in I} X_i \]

فشرده است.

 

اثبات دقیق این قضیه در کتابهای آموزشی توپولوژی وجود دارد و من فقط قصد دارم ایده یک اثبات را بیان کنم.

ایده اثبات:

ایده اثبات دقیقا از ظاهر مجموعه‌های باز در فضای توپولوژی حاصلضربی نتیجه می‌شود. به طرح زیر دقت کنید:

اگر یک پوشش باز برای X موجود باشد مثل:

\[ \big \{ G_j \big \}_{j \in J} \]

یک عضو دلخواه از پوشش فوق مثل

\[ G_{j_0}  \]

تقریبا شامل همه فضاها موجود در ضرب فضاهاست. (به بیان دیگر حداکثر متناهی تا از فضاهای موجود در ضرب دکارتی به صورت کامل در مجموعه فوق موجود نیستند.)

مثلا فقط اندیسهای

\[ i_1 , ... , i_n \]

حال با توجه به اینکه برای هر i در I برای X_i فشردگی را داریم، پس میتوان با انتخاب مناسب از J حداکثر متناهی عضو از پوشش انتخاب کرد که

\[ X_{i_n} \]

را بپوشاند، چون تمام بحران ما در n اندیس (متناهی اندیس) بود پس مسئله حل می‌شود.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تمرین: نکات گنگ ایده را پیدا کنید و اثبات کنید تا برهان تکمیل شود.

 

با دانستن ایده اثبات خود خواننده می‌تواند اثبات را تکمیل و تدقیق کند و شهود خوبی نسبت به صورت قضیه بدست آورد.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

یک کاربرد از قضیه تیخونوف (در منطق)

عکس قضایایی که با سور بیان می شوند

سلام

سوال از جناب محب:

بی زحمت در مورد عکس قضایایی که با سور بیان می شن یه کمی توضیح بدید! لطفا!

پاسخ:

در گام نخست باید چک کرد که آیا واقعا با یک قضیه سر و کار داریم یا نه؟ (قضیه گزاره ای شرطی است) باید به صورت دقیق به شکل نمادین و استاندارد نگارش کنیم. از جمله گزاره‌هایی که با قضیه اشتباه می‌شود گزاره‌های دارای سور است. به بیان دیگر گزاره ما اگر به شکل زیر باشد یک قضیه نیست:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \]

برای مثال کلیک کنید.

حال اگر گزاره ما به شکل زیر بود:

\[ \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \]

برای مثال گزاره ما اینچنین بود: اگر X مجموعه‌ای بیش از 3 نقطه در فضا باشد که با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید آنگاه فضای ما اقلیدسی نیست.

P(X): با انتخاب هر سه تایی دلخواه یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می‌آید

Q(X): فضای ما اقلیدسی نیست

عکس این گزاره‌ها هیچ تفاوتی با گزاره‌های معمولی ندارد. یعنی اگر گزاره ما به صورت زیر باشد

\[ p \Rightarrow q \]

عکس آن به صورت

\[ q \Rightarrow p \]

ولی در نقیض آن سور عمومی به سور وجودی تبدیل می‌شود:

\[ \sim \Big( \forall x \in X  :  P(x) \Rightarrow Q(x) \Big ) \equiv \exists x \in X : P(X) \land \sim Q(X)  \]

ایده های شخصی و هدف گذاری

برای نمایش مطلب باید رمز عبور را وارد کنید

مدلسازی ترافیک جاده ای

سلام

یکی از پرکاربردترین کارهایی که یک ریاضیدان میتواند انجام دهد «مدلسازی»ست. عموما مدلسازی را توصیف یک سیستم به زبان ریاضی تعریف میکنند و هدف این علم را تحلیل و پیش­بینی رفتار یک سیستم می­دانند.

من مدلسازی را دریچه بین ریاضیات و علوم فنی میدانم. در مثالی ابتدایی (و احتمالاً دارای اشکالات فراوان) اهمیت این شاخه از ریاضیات را شرح می­دهم:

فرض کنید اداره راه سازی می­خواهد اقدام به جاده­کشی بین دو شهر کند، برای این منظور گزینه­های زیادی پیش رو دارد، کدام مسیر بهینه­ترین خواهد بود؟ کاری که باید انجام شود:

1. ترافیک بین شهری مدل شود. خواه به صورت تعداد ماشین گذرنده از یک نقطه دلخواه بین دو شهر خواه به هر شکل دیگر مدل کرد.

2. مسیرهای ممکن بین دو شهر مدل شود. در این مدل میتوان از گرافهای وزن­دار که به طول مسیر اشاره دارند استفاده کرد، حتی ممکن است وزن گرافها را به صورت چندتایی بیان کرد مثلاً چندتایی مرتب (طول مسیر، هزینه ساخت جاده، غیره) پیشنهاد می­شود.

3. شاید موارد مهم دیگری هم وجود داشته باشد که متخصصین راهسازی به آن واقف هستند و به مدلساز توصیه­های لازم را می­دهند تا وی آن‌ها را به صورت ریاضی مجرد تبدیل کند. مثلاً هزینه تهیه ادوات جدید برای تحویل سریعتر پروژه شاید بررسی شود.

نکاتی که باید در نظر داشت:

1. نیازی وجود ندارد که تابع ترافیک کاملاً دقیق باشد ولی باید تفاوت ترافیک ساعات مختلف را لحاظ کند تا مشکلی پیش نیاید

2. در تابع ترافیک می­تواند ساده سازی انجام شود، برای مثال خودروها دائماً در حال حرکت هستند و در میان جاده از آن خارج نمی­شوند، هرچند در برخی مناطق که حاشیه جاده شامل روستاهای زیادی هست ممکن است این ساده سازی باعث هزینه­های اضافی شود، باید مدلساز دقت کند ساده­سازیها قابل قبول باشد.

3. مدلساز باید بتواند بدون کاسته شدن از چیزی داده­های لازم و حیاتی را کوچک کند تا محاسبات ساده شود. این غیر از ساده­سازی است، در ساد­سازی برخی داده­های غیرضرور از بین می­رفت، برای مثال در ساختن گراف جاده­هاهای ممکن نیاز نیست که هر مسیر یک یال جداگانه داشته باشد، بلکه چون برخی مسیرها باهم تلاقی خواهند داشت میتوان هر نقطه تلاقی را یک راس دانست و محاسبات و یالهای زیادی را از محاسبات خارج کرد.

حال پس از مراحل فوق یک مدلساز نتیجه کار خود را تحویل ریاضیدان کاربردی می­کند تا وی بتواند با بررسی مدل ریاضی نتیجه را اعلام دارد، هرگاه در بررسی داده­ها به بن­بست خورد ریاضیدان محض با ارائه مفاهیم جدید وی را در رسیدن به پاسخ یاری خواهد کرد. این چنین حلقه مفقوده بین ریاضیات و صنعت ساخته می­شود.

مثالهای مدلسازی از بهینه­سازی فراتر می­رود و می­توان به مدلسازی الگوی آب و هوا، مدلسازی بازارهای اقتصادی، مدلسازی اوضاع جنگی و … نیز نام برد.

زنجیر صعودی

سلام

خانوادهرا یک زنجیر صعودی گویند هرگاه I مرتب باشد (نه لزوماً کاملاً مرتب) و اگر (از عناصر ]) آنگاه

زنجیر پایا: زنجیری که از جایی به بعد ایستا باشد، به عبارت دیگر: یکموجود باشد که برای هرداشته باشیم

حال فرض کنید که خانواده ای از ایده آل های یک حلقه آرتینی است،  (اگر مفهوم حلقه آرتینی یا حتی ایده آل را نمیدانید فرض کنید در فضایی هستیم که همه زنجیرهای صعودی پایا هستند)

ثابت کنید اگر I دارای کوچکترین عضو باشد حداکثر پس از متناهی مرجله ایستا خواهد شد

ثابت کنید اگر I دارای کوچکترین عضو نباشد و از ابتدا ایستا است.

صفحات متقاطع و متنافر در فضای چهار بعدی

سلام

این مطلب از وبلاگ قبلیم منتقل شده، البته تاریخ اصلی نگارش 14 مهر 1388 بود
امروز در کلاس ریاضی 3  استاد (حسین زاده) مسئله جالبی رو مطرح کرد، صفحاتی که تنها در یک نقطه مشترک هستند! البته این صفحات تنها در فضای R⁴ قابل تصورند. فقط لطفا قبل از مطرح شدن هر بحث کمی در مورد موضوع آن فکر کنید و ببینید آیا میتوانید خودتان جوابی غیر از این چیزی که من گفته ام پیدا کنید، این کمک بسیاری در درک مطلب خواهد کرد.
به دو صفحه P₁ و P₂ که به شکل زیر تعریف شده دقت کنید:

P₁={(x,y,z,w) | (x,y,z,w)=(1,2,3,4)+t(1,0,0,0) + s(0,1,0,0) & s,t in R}

P₂={(x,y,z,w) | (x,y,z,w)=(1,2,3,4)+r(0,0,1,0) + l(0,0,0,1) & r,l in R}

بدیهی است که

P₂∩P₁={(1,2,3,4)}

حال چگونه اینچنین صفحات را متصور شویم؟ به زودی به این سوال جوابی در خور خواهیم داد.

برای اینکه سوالم را دقیقتر مطرح کنم بهتر است چند مسئله دیگر را نخست مورد مطالعه قرار بدهیم.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه موازی را توضیح بدهم.
لحظه ­ای از زمان را به عنوان مبدا در نظر بگیرید حال:
فرض کنید صفحه P در فضای R⁴ به این شکل تعریف شده باشد:
در ثانیه 2، برای یک آن، یک صفحه به موازات سقف را تصور کنید. این چیزی که شما تصور کردید یک صفحه بود. (موازی صفحه زمان در دستگاه مختصات (x,y,z,t) )
صفحه Q را نیز اینگونه تعریف میکنیم:
در ثانیه 3، برای یک آن، یک صفحه به موازات سقف از سقف را تصور کنید.
صفحات P و Q موازی هستند، زیرا بردار نرمالهای هر دوی آنها را میتوان به شکل z=1 تعریف کرد و دارای بردار نرمال برابر هستند. از طرفی برهم منطبق نیستند (یکی در لحظه t=2 و دیگری t=3 وجود داشت و کلا امکان تقاطع وجود ندارد) چیزی که باعث تمایز این دو صحفه از هم شده نقطه مشخصه آنهاست. (اگر کمی بحث سنگین بود به تعریف صفحه در فضای سه بعدی مراجعه کنید، یک صفحه را میتوانستیم با بردار نرمال و یک نقطه از آن مشخص کنیم، در اینجا اگر مبدا مختصات را منطبق بر سقف در نظر بگیریم نقاط (2و0و0و0) و (3و0و0و0) نقاط معین این دو صفحه هستند.
شما هم اکنون دو صفحه موازی در فضای 4 بعدی را متصور شده اید.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متنافر در فضای چهار بعدی:

صفحه S را به این شکل تصور کنید: در ثانیه t=3 موازی با دیوار مقابل شما، صفحه ای برای یک آن پدیدار و سپس محو میشود.
صفحات P و S موازی نیستند ولی نقطه مشترکی هم باهم ندارند. پس متنافرند!

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متقاطع در یک خط کار سختی نیست. مانند صفحات S و Q

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

تصور دو صفحه متقاطع در یک نقطه!

دوباره به سوال ابتدایی برگشتیم، چگونه دو صفحه را متصور شویم که تنها در یک نقطه متقاطع هستند؟ این سوال در اساس به تصویری از صفحه است که به غلط در ذهن ما نقش بسته، ما تصور می کنیم که باید بتوانیم صفحه را به شکل یک مربع یا مستطیل تصور کنیم در حالیکه صفحه اصلا چنین چیزی نیست، شاید این تصور که صفحه مجموعه ای از نامتناهی مربع کنار هم است صحیح باشد ولی این دلیل نیست که همواره صفحه را به مساحت آن بشناسیم، قصد من این است که یکی از روشهای تصور صفحه که مستقیما از فرمولهای ایجاد کننده آن به دست می آید استفاده کنم.
صفحه T: اگر یادتان باشد یکی از روشهای ساخت حرکت دادن یک خط با یک سرعت ثابت در جهتی ثابت حرکت کند (این را در فضای سه بعدی متصور شوید تا بتوانید به ادامه مطلب پی ببرید). حال یک خط L را در فضای سه بعدی در نظر بگیرید، -مثلا فصل مشترک سقف و دیوار مقابل- حال زمان را دخیل کنید، این خط در سه بعد فضا ثابت ولی در زمان حرکت میکند، چون زمان دارای سرعتی ثابت هست و جهت آن نیز همواره رو به مثبت میباشد پس شما یک صفحه ساخته اید (البته اثبات این مقوله به این آسانی نیست ولی ما بدون اثبات قبول میکنیم). البته این خط از زمان منفی بینهایت تا مثبت بینهایت در زمان حرکت میکند.
صفحهU  :در لحظه t=0 یک صفحه برای یک آن دیده میشود که با خطی که شما متصور شده اید در یک نقطه تلاقی دارد - مثلا دیوار جانبی شما-
از آنجا که T تنها در یک لحظه همزمان با U دیده شد پس تمام نقاط تقاطع حداکثر در همین لحظه خواهد بود، از طرفی دیگر اگر دقت کرده باشید، در این لحظه تنها خط L و صفحه U دیده میشدند که تنها در یک نقطه باهم تقاطع دارند! پس تمام نقاط تقاطع این دوصفحه همین نقطه می باشد.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

در پناه حق

سوالی جالب در منطق

سلام

میدانیم هرگاه گزاره «اگر الف آنگاه ب» غلط باشد گزاره «اگر ب آنگاه الف درست است»

دلیل: تنها زمانی «اگر الف آنگاه ب» غلط است که «الف» درست باشد و «ب» غلط. حال چون «ب» غلط است هر  نتیجه­ ای از آن می­توان گرفت از جمله «الف»!

حال سوال زیر مطرح می شود:
عکس گزاره زیر چیست؟
به ازای هر الف اگر الف مثلث متساوی الاضلاع باشد آنگاه الف مثلث قائم الزاویه است

چند نکته در رابطه با سوال فوق:
1) به سورهای موجود در گزاره فوق دقت کنید
2) دقت کنید که عکس گزاره شرطی غلط درست است
3) در عکس کردن یک گزاره شرطی دقت کنید که شرط و مشروط چیست

اگر قادر به یافتن عکس گزاره فوق نیستید مشکل کجاست؟


پاسخ در ادامه مطب

مفهوم پایه در مدولها

پیش از هر چیز یادآوری میکنم تعریف پایه در فضاهای برداری و مدولها مشابه هستند: «پایه یک مجموعه مولد فضا است که مستقل خطی نیز باشد».

در این مجال قصد بررسی تعمیم دو خاصیت از فضاهای برداری به مدولها را داریم، این خصوصیات عبارتند از:

1. هر مجموعه مولد فضا شامل یک پایه است

2. در یک فضای بردای هر مجموعه مستقل خطی را میتوان به یک پایه تعمیم داد

3. کاردینال پایه یک فضای برداری خوش­تعریف است

حال در مدولها بررسی را انجام میدهیم:

• را به عنوان یک- مدول بررسی می­کنیممولد هست ولی چون مستقل خطی نیست (چرا؟) لذا نمی­تواند به یک پایه تعمیم پیدا کند.

• فرض کنیدV یک فضای برداری نامتناهی البعد باشد و(حلقه همه تبدیلات خطی از V به V)، حال R را به عنوان R-مدول مورد بررسی قرار می­دهیم.

تعریف میکنیم:

 

 برای هر i بزرگتر از 1:

• مجموعه یک مجموعه مستقل خطی را تشکیل می­دهد ولی این فضا هیچ پایه نامتناهی ندارد (زیرا دارای حداقل یک پایه متناهیاست.) میتوانید به آسانی بررسی کنید کهنمیتواند تابع همانی را تولید کند و همچنین این مجموعه مستقل خطی است.
  

• R را همان R فوق در نظر بگیرید؛ مجموعه (کههمان قبلی است) پایه‌ای برای R تشکیل می­دهد ولذا بعد در مدول خوش­تعریف نیست!

با توجه به اینکه بیشتر مخاطبین این مطلب دوستانی هستند که از طریق موتورهای جست و جو وارد وبلاگ شده­اند، صفحاتی را برای این دوستان پیشنهاد میکنم تا مطالعه کنند:

مطالب پیشنهادی:

اصول موضوعه انسانیت

مطالعه یک حکیم ریاضی

ارزشگذاری نامتناهی گزاره ( قضیه فشردگی)

(اگر از طریق موتورهای جستجو در پی قضیه تیخونوف به این صفحه آمده‌اید، کلیک کنید. در این صفحه به یک کاربرد از قضیه تیخونوف در منطق به صورت گذرا اشاره شده است و خواندن آن خالی از لطف نیست)

-----------------------------------------------------------------------

سلام

در مبحث منطق قضیه جالب مشهور به قضیه فشردگی وجود دارد، این قضیه اقدام به ارزش­گذاری سازگار و کامل نامتناهی گزاره می­کند.

پیش از ورود به‌ این قضیه باید تأکید کنم که فُخس به معنای فرمول خوش ساخت است اگر با مفهوم فخس آشنایی ندارید می­توانید به عبارت ساده­تر مفهوم گزاره در مبانی ریاضیات با آن آشنا شده­اید بسنده کنید، ارزش­دهی ارضاء کننده یک مجموعه از فخسها نیز به طور ساده همان ارزش­دهی به گزاره­های یک مجموعه از گزاره هاست به طوری که کامل و سازگار باشد.

قضیه فشردگی: فرض کنید مجموعهشامل نامتناهی فخس باشد، اگر به ازای هر زیرمجموعه متناهی از مانندبتوانیم یک ارزشدهی ارضاء کننده ارائه کنیم یک ارزش­دهی ارضاء کننده برایوجود دارد.

نکته جالب در این قضیه این است که اگر شما مجموعهرا در نظر بگیرید، ارزش­دهی ارضاء کننده­ای که برای هر یک از مجموعه­های ،، نسبت داده می­شود می­تواند با هم چنان متفاوت باشد که شباهتی بین آن‌ها مشاهده نکنید.

اهمیت حِکمی این قضیه نیز قابل بررسی و ژرف به نظر می­رسد.

چیزی که در این بین از همه جالبتر است دلیل نامگذاری این قضیه به «فشردگی» است، این قضیه را میتوان با استفاده از قضیه فشردگی تیخونوف در فضاهای توپولوژیک حاصلضربی بیان و اثبات کرد!

مطالعه یک حکیم ریاضی

سلام

عموما در مطالعه کتب ریاضی، به مطالب آن به چشم معماهایی پی در پی نگاه میکنیم که در انتظار حل شدن نشسته اند ولی حقیقت مطلب برای یک حکیم ریاضی غیر از این است

فردی که با دیدگاه کشف چیستی مفاهیم، کشف روابط، چیستی ساختارها و سیستمها به علم ریاضیات می نگرد باید بداند که در مطالعه ریاضیات باید با مطالب گفت و گو کرد، اصالت، مسیری که در کتاب برای رسیدن به این مکان طی شده، دلایل رسیدن به چنین جایی، امکان تجرید و تعمیم در مفاهیم، ارتباط با دیگر آموخته هایمان، جایگاه مطالب در علم ریاضی را از ریاضیات خواست و منتظر پاسخ بود.