مفهوم پایه در مدولها

پیش از هر چیز یادآوری میکنم تعریف پایه در فضاهای برداری و مدولها مشابه هستند: «پایه یک مجموعه مولد فضا است که مستقل خطی نیز باشد».

در این مجال قصد بررسی تعمیم دو خاصیت از فضاهای برداری به مدولها را داریم، این خصوصیات عبارتند از:

1. هر مجموعه مولد فضا شامل یک پایه است

2. در یک فضای بردای هر مجموعه مستقل خطی را میتوان به یک پایه تعمیم داد

3. کاردینال پایه یک فضای برداری خوش­تعریف است

حال در مدولها بررسی را انجام میدهیم:

• را به عنوان یک- مدول بررسی می­کنیممولد هست ولی چون مستقل خطی نیست (چرا؟) لذا نمی­تواند به یک پایه تعمیم پیدا کند.

• فرض کنیدV یک فضای برداری نامتناهی البعد باشد و(حلقه همه تبدیلات خطی از V به V)، حال R را به عنوان R-مدول مورد بررسی قرار می­دهیم.

تعریف میکنیم:

 

 برای هر i بزرگتر از 1:

• مجموعه یک مجموعه مستقل خطی را تشکیل می­دهد ولی این فضا هیچ پایه نامتناهی ندارد (زیرا دارای حداقل یک پایه متناهیاست.) میتوانید به آسانی بررسی کنید کهنمیتواند تابع همانی را تولید کند و همچنین این مجموعه مستقل خطی است.
  

• R را همان R فوق در نظر بگیرید؛ مجموعه (کههمان قبلی است) پایه‌ای برای R تشکیل می­دهد ولذا بعد در مدول خوش­تعریف نیست!

با توجه به اینکه بیشتر مخاطبین این مطلب دوستانی هستند که از طریق موتورهای جست و جو وارد وبلاگ شده­اند، صفحاتی را برای این دوستان پیشنهاد میکنم تا مطالعه کنند:

مطالب پیشنهادی:

اصول موضوعه انسانیت

مطالعه یک حکیم ریاضی

دانشسرای بوعلی- مجموعه

سلام

موضوع:

مجموعه، مجموعه تهی

مجموعه مفهومی است گنگ و ناشناخته، آیا بدیهی انگاشتن مجموعه صحیح است؟ مگر معرف به اجزاء نیست؟ مجموعه تهی آیا وجود دارد؟ وجود مجموعه تهی یعنی بودن نیستی! یعنی اینکه انسان قابلیت شناخت عدم را دارد! در حالیکه ما از عدم کاملا دوریم؛ از دیگر سو در اصول موضوعه پئانو برای نظریه اعداد داریم که :

0= Φ

1= { Φ }

2= { {Φ} , Φ }

...

k= k-1 U { k-1 }

یعنی یک را با استفاده از مجموعه تهی معرفی کردیم این در حالی است که تهی نمایانگر عدم هست و یک نشانگر وجود واحد! آیا می­توان وجود را با عدم تعریف کرد؟ آیا اشکالی در این نظریه مشاهده نمی­کنید؟ نظر شما در مورد مفهوم مجموعه و مجموعه تهی چیست؟

 

نظرات دوستان

• اعضای مجموعه باید از یک نوع باشند.

• تهی یعنی نیستی اما با صفر متفاوت است؛ چون صفر وجود دارد ولی ارزش ندارد ولی تهی ماهیت ندارد وجود ندارد که ارزش داشته باشد.

• بودن یا نبودن مسئله این است.

• چند چیز که یک خاصیت مشترک (روح مشترک) دارند

• قبول ندارد : 1={Φ}

• عدم وجود دارد، صفات بد