سلام
با توجه به آمار وبلاگ قضیه تیخونوف یکی از قضایای پربازدیدکننده است. لذا مطلبی در این مورد برای کاربران محترم مینویسم، ان شاء الله که مفید باشد.
قضیه تیخونوف:
اگر خانواده
\[ \big \{ X_i \big \}_{\in I} \]
از فضاهای توپولوژیک برای هر i در I فشرده باشد آنگاه فضای حاصلضربی حاصل از ضرب فضاهای فوق نیز فشرده است یعنی
\[ X=\oplus_{i \in I} X_i \]
فشرده است.
اثبات دقیق این قضیه در کتابهای آموزشی توپولوژی وجود دارد و من فقط قصد دارم ایده یک اثبات را بیان کنم.
ایده اثبات:
ایده اثبات دقیقا از ظاهر مجموعههای باز در فضای توپولوژی حاصلضربی نتیجه میشود. به طرح زیر دقت کنید:
اگر یک پوشش باز برای X موجود باشد مثل:
\[ \big \{ G_j \big \}_{j \in J} \]
یک عضو دلخواه از پوشش فوق مثل
\[ G_{j_0} \]
تقریبا شامل همه فضاها موجود در ضرب فضاهاست. (به بیان دیگر حداکثر متناهی تا از فضاهای موجود در ضرب دکارتی به صورت کامل در مجموعه فوق موجود نیستند.)
مثلا فقط اندیسهای
\[ i_1 , ... , i_n \]
حال با توجه به اینکه برای هر i در I برای X_i فشردگی را داریم، پس میتوان با انتخاب مناسب از J حداکثر متناهی عضو از پوشش انتخاب کرد که
\[ X_{i_n} \]
را بپوشاند، چون تمام بحران ما در n اندیس (متناهی اندیس) بود پس مسئله حل میشود.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
تمرین: نکات گنگ ایده را پیدا کنید و اثبات کنید تا برهان تکمیل شود.
با دانستن ایده اثبات خود خواننده میتواند اثبات را تکمیل و تدقیق کند و شهود خوبی نسبت به صورت قضیه بدست آورد.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
