مبانی اولیه نظریه اطلاعات کوانتومی

سلام

نظریه اطلاعات کوانتومی بر پایه چند اصل استوار است که در این نوشته به طور خلاصه به این مفاهیم می‌پردازیم. شاید به لحاظ فیزیک نوشته‌های این صفحه دقیق نباشد ولی برای ریاضی‌خوانهای عزیز می‌تواند استارت کار باشد.

 

1.            کیوبیت تک ذره‌ای، نقطه‌ای روی دایره واحد در صفحه‌

\[ \mathbb{C} ^2 \]

یا به عبارت دیگر برداری یکه در صفحه فوق است. مولد‌های این صفحه را با

\[|0>=(1,0) , |1>=(1,0) \]

نشان می‌دهیم یک پایه معمول دیگر برای این فضای برداری

\[|+>=(1,1) , |->=(-1,1) \]

است.

. دقت کنید این صفحه یک فضای برداری روی میدان اعداد مختلط است. برخلاف بیت کلاسیک، کیوبیت کوانتومی ناشمار حالت متفاوت می‌تواند داشته باشد.

1. کیوبیت n ذره‌ای برداری یکه در فضای حاصلضرب تانسوری n صفحه مختلط است.
2. مقدار یک کیوبیت را نمی‌توان به طور دقیق تعیین کرد. برای تعیین مقدار یک کیوبیت از الگوریتم زیر استفاده می‌کنیم:

                     i.            قطبش کیوبیت n ذره‌ای در یک فضای برداری

\[ 2^n \]

قطبش دارد. پایه‌های این فضای برداری حاصلضرب تانسوری پایه‌های n صفحه مختلط دو بعدی است.

                   ii.            برای مشاهده‌گر (معادل با چشمی در رایانه‌های کلاسیک) یک پایه فضای برداری تعیین می‌شود. خروجی مشاهده‌گر یکی از اعضای پایه خواهد بود. پایه تثبیت شده را

\[ \left\lbrace \beta^{2^n}_0, \beta^{2^n}_1 ,\ldots , \beta^{2^n}_{2^n} \right\rbrace \]

                  iii.            سیستمی که در وضعیت

\[ \phi= \sum \lambda_i \beta^{2^n}_i \]

باشد را مقابل مشاهده‌گر قرار می‌دهیم مشاهده‌گر با احتمال

\[ \parallel \lambda_i \parallel \]

مقدار

\[ \beta_i \]

را اعلام می کند.

دقت کنید در الگوریتم فوق، پایه فضای هیلبرت را برای مشاهده‌گر از پیش معرفی کرده‌ایم.

1. حالت سیستم بعد از مشاهده به حالت

\[ \phi^{'}= \beta_i \]

فرو می‌ریزد.

1. می‌توان m ذره یک سیستم n ذره‌ای با حالت اولیه

\[ \phi= \sum \lambda_i \beta^{2^n}_i \]

را مقابل چشم مشاهده‌گر قرار داد. در این وضعیت جالت سیستم m ذره‌ای را یکه شده بردار زیر می‌گیریم:

\[ \phi^m= \sum \left( \sum\limits_{\beta^{2^m}_j ~is ~prefix~ \beta^{2^n}_i } \lambda_i \right) \beta^{2^m}_j \]

خروجی مشاهده گر را با Output می‌نامیم.

 

1. حالت n-m ذره باقیمانده نیز به یکه شده بردار زیر فرو ریزی می‌کند:

\[ \phi^{n-m}= \sum \mu_i \beta^{2^m}_i \]

که

\[ \mu_i = \left\lbrace \begin{array}{cc} 0& Output~not~prefix~\beta^{2^n}_i\\ \lambda& Output~prefix~\beta^{2^n}_i\\ \end{array} \right. \]

1. عمل مشاهده برگشت‌پذیر نیست.
2. روی بردار وضعیت هر n کیبویت می‌توان هر عملگر ماتریسی اعمال کرد.  به عملگرهای ساده و پرکاردبرد گیت نیز می‌گویند که در ادامه در مورد آنها بیشتر مطالعه می‌کنیم.
3. \[ |\alpha> = (<\alpha|)^t \]

 

گیت‌های پرکاربر:

\[ X=|0><1|+|1><0| \]

\[ Y=i|0><1|-i|1><0| \]

\[ Z=|0><0|-|1><1| \]

\[ H=|0><+|+|1><-| \]

ان شاء الله در آینده مطالب بیشتری در زمینه نظریه اطلاعات کوانتومی خواهم نوشت